导数大题.doc

题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:
第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征恒成立恒成立;
,是的一个极值点.
(Ⅰ)求的单调递增区间;
(Ⅱ)若当时,恒成立,求的取值范围.
解:(Ⅰ). ∵是的一个极值点,
∴是方程的一个根,解得.
令,则,解得或.
∴函数的单调递增区间为,.
(Ⅱ)∵当时,时,
∴在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增. ∴是在区间[1,3]上的最小值,且. 若当时,要使恒成立,只需, 即,解得.
.
(Ⅰ)若函数在处的切线斜率为,求函数的解析式;
(Ⅱ)若,求函数的单调区间.
解:(Ⅰ). 由题意知,得.
∴.
(Ⅱ). ∵,∴.
由解得或,
由解得. ……………10
∴的单调增区间为:和;
的单调减区间为: .……12分
。
(1)求在上的值域;
(2)若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围。
解:(1)法一:(导数法) 在上恒成立.
∴在[0,1]上增,∴值域[0,1]。
法二:, 复合函数求值域.
法三:用双勾函数求值域.
(2)值域[0,1],在上的值域.
由条件,只须,∴.
特别说明:要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路,联想2008年全国一卷第21题,那是单调区间的子区间问题;
,
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)当时,求的值域;
(Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。
解:(Ⅰ)∴, 解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减又
∴的值域是
(Ⅲ)令
∴要使恒成立,只需,即
(1)当时解得;
(2)当时;
(3)当时解得;综上所述所求t的范围是
特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知”,分类一定要序号化;
,最小值是-11.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若时,恒成立,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)
令=0,得
因为,所以可得下表:
0
+
0
-
↗
极大
↘

因此必为最大值,∴因此, ,
即,∴,∴
(Ⅱ)∵,∴等价于, 令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,为此只需,即,
解得,所以所求实数的取值范围是[0,1].
,在时有极值0,则 11 。
特别说明:通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点,但极值点一定是“导数等于零”方程的根;
,函数.
若函数在处有极值,求的解析式;
若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,求实数的取值范围.
解:∵,∴由有,即切点坐标为,
∴切线方程为,或……………………2分
整理得或
∴,解得,∴,∴
(1)∵,在处有极值,∴,
即,解得,∴……………………8分
(2)∵函数在区间上为增函数,∴在区间上恒成立,∴,又∵在区间上恒成立,∴,
即,∴在上恒成立,∴
∴的取值范围是
题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;
(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:
第一种:转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧),如果是同侧则不必分类讨论;若在0的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法;
第二种:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
第三种方法:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置;
特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别;
(2)函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极