数学二考前押题(1).doc

万学海文2009年全国硕士研究生入学统一考试考前预测(数学二)
一、选择题:1~8小题,每小题4分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设在上连续,且令
则有( )
A. B. C. D.
(2)设在有连续的导数,又,则( )


(3)设,则在处( )


(4)累次积分的值为( )
A. B. C. D.
(5)微分方程的特解形式为( )
A. B.
C. D.
(6)下列函数中在指定区间上不存在原函数的是( )
A.
B.
C.
D.
(7)设,是阶可逆矩阵,
a. ; b.;
c. 只有零解; .
中正确的项数是( )

(8)已知线性方程组有解,其中,,,则等于( )
B.-1 D.-2
二、填空题:9~14小题,每小题4分,.
(9)设,具有连续的二阶偏导数,则
(10)设为常数,则
(11)设,则
(12)设,在连续且满足。又,则
(13)设有连续导数,由方程确定,则
(14)设是三阶矩阵,有特征值,,.是的伴随矩阵,是三阶单位阵,则
三、解答题:15~23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
设在二阶可导,又
(I)求与
(II)求
(16)(本题满分10分)
求证:方程在内只有两个不同的实根。
(17)(本题满分10分)
计算
(18)(本题满分10分)
设,而是由方程所确定,其中函数均有连续的偏导数,求
(19)(本题满分10分)计算
设有摆线

(I)求的弧长
(II)求绕轴旋转一周所成旋转面的面积
(III)求的形心
(20)(本题满分11分)
设在上有连续的二阶导数,且
满足
求:(I)的表达式
(II)在上的最大值
(21)(本题满分11分)
设闭区间。是上的连续函数,且。求
(22)(本题满分11分)
设四维向量组,,,.问:
(I)当取何值时,不能由线性表出;
(II)当取何值时,能由线性表出,并写出此时的表达式
(23)(本题满分11分)
设二次型,其中-2是二次型矩阵的一个特征值.
(I)试用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用正交变换;
(II)求在条件下的最小值,并求最小值点;
(III)如果是正定矩阵,求的取值
参考答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设在上连续,且令
则有( )
A. B. C. D.
解:A(积分变限)
分析:因为在上连续,所以在上可导,且又
,故
(2)设在有连续的导数,又,则( )
A. B.
C.
D.
解:B(洛必达法则)
分析:由在有连续的导数,又,知
由上可知
(3)设,则在处( )




解:D(连续与可导的基本概念)
分析:
当时
其中
,即在处连续。
(4)累次积分的值为( )
A. B. C. D.
解:C(累次积分变换积分次序)
分析:是二重积分的一个累次积分,其中。现改换成先后的积分顺序得

(5)微分方程的特解形式为( )
A. B.
C. D.
解:A(微分方程求解)
分析:方程右端的非齐次项
相应齐次方程的特征方程是
特征根
利用解的迭加原理:相应于非齐次项有形式为
的特解,为待定常数。
相应于非齐次项有形式为
的特解,,为待定常数。
因此,原方程有形如的特解。
(6)下列函数中在指定区间上不存在原函数的是( )
A.
B.
C.
D.
解:D(原函数存在性)
分析:A,B中的函数在给定区间上连续,因而存在原函数。
C,D中的函数除外均连续,是它们的间断点。不同的是,C中是第二类间断点,D中
是第一类间断点,指定的区间均含,因此选D。
设定义在上,是的第一类间断点,则在不存在原函数。若是的第二类间断点,在上是否存在原函数,要具体问题具体分析。
(7) 设,是阶可逆矩阵,
a. ; b.;
c. 只有零解; .
中正确的项数是( )

正确答案:C.
解析:因,满足.
两边取行列式,显然有,a成立.
又,移项,提公因子得
,
,
.
故,都是可逆阵,且互为逆矩阵,从