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第六讲
定积分的计算方法
和
解证明题与应用题
的方法
1
3-3 定积分的计算方法和有关命题的证明方法
一. 方法指导
1. 计算定积分的基本公式(P164 ,1 )
(1) 牛顿—莱布尼兹公式
则
注意使用公式的条件
思考:下列计算是否正确? 为什么?
2
第一换元法
第二换元法
代换
且
单调.
注意:
换元必换限,
配元不换限.
(2) 换元积分公式
下列换元是否正确? 为什么?
(令)
(P478)
在t = 0处
不连续。
3
下列换元是否正确? 为什么?
(令)
注意:
边积边代限
使用此公式的原则及经验与不定积分相同。
(3) 分部积分公式
因为
4
2. 特殊形式定积分的计算(P165 , 2 ,3 )
(1) 分段函数的定积分
方法: 分段积分后求和.
若被积函数为复合函数, 应先换元后积分.
例如,
设
, 求
提示: 令
则
原式=
5
方法: 先去绝对值符号再分段积分.
(2) 被积函数含绝对值符号的积分
技巧: 令绝对值内的表达式为 0 , 解方程, 求出分界点.
(3) 被积函数中含有“变限积分”的积分
方法:
“变限积分”
, 用分部积分法.
例如,
令
6
(6) 含有三角有理式的积分
方法:
通过换元, 把原积分分解成可抵消或易积分的若干个积分.
一般换元方法是:
积分区间对称
实行负变换;
积分区间为
令
例如,
9
3. 定积分有关命题的证明方法
(1) 证明定积分等式的常用方法
换元法
适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件的命题;
分部积分法
适用于被积函数中含有
或变限积分的命题;
辅助函数法
适用于证明积分限中存在一点
或
使等式成立的命题;
泰勒公式法
适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导函数的命题
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