中国矿业大学徐海学院高等数学——方法上62ppt课件.ppt

3-4 解定积分应用问题的方法
一. 方法指导
1. 定积分解决实际问题的步骤(P182 ,1 )
第一步利用“化整为零, 以常代变”求出局部量
的近似值
微分表达式
第二步利用“积零为整, 无限累加”求出整体量
的精确值
积分表达式
这种分析方法称为微元分析法(或元素法)
1
2. 定积分的主要应用及方法( P184 , 2 , 3 )
条、
段、
环、
带、
扇、
片、
壳等.
几何方面:
面积、
体积、
弧长、
表面积.
( P184 , 2 )
物理方面:
基本方法:
微元分析法
微元形状:
质量、
作功、
侧压力、
引力、
( P184 , 3 )
转动惯量.
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例1. 给定曲线族
选择一条
曲线,使它与曲线上点(–1, 0 ) 及( 1, 0 ) 处的法
线所围图形面积最小.
提示:如图,仅讨论右半部分
法线为
面积为
可证
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例2. 过坐标原点作曲线
轴围成平面图形D.
(1) 求 D 的面积;
(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.
解: (1) 设切点的横坐标为
则所求切线方程为
由切线过原点知
的切线. 该切线与曲线
因此
故切线方程为
D 的面积为
1
(2003考研)
4
(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.
(2) 切线、x 轴及直线
所围三角形绕直线
旋转所得圆锥的体积为
曲线、x 轴及直线
所围图形绕直线
旋转所
因此所求旋转体体积为
1
得旋转体体积为
5
例3. 求抛物线
解:
与直线
所围的图形绕
y 轴旋转一周所得旋转体体积.
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例5. 设D位于曲线
(1) 求区域D绕x轴旋转一周所成
(2) a 为何值时
解
下方,
x轴上方的无界区域。
旋转体的体积
( 2007考研)
最小,并求此
最小值。
(2)求导得
,得
是唯一驻点为最小值点,最小值为
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例6. 设
解记
( 2008考研)
在
上具有连续导数的单调增函数,且
,对任意的
,直线
,曲线
以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周形成
一旋转体,若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积
的表达式。
的2倍,求函数
,对
由旋转体的侧面积公式
时,上式自然成立,现两边对 t 求导得
,可得
是单增函数.
与体积公式得
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