1990考研数一真题解析.doc

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 过点且与直线垂直的平面方程是___x-3y-z+4=0__________.
(2) 设为非零常数,则=_____________.
(3) 设函数则=________1_____.
(4) 积分的值等于_____________.
(5) 已知向量组,则该向量的秩是_____2________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 设是连续函数,且,则等于( A )
(A) (B)
(C) (D)
(2) 已知函数具有任意阶导数,且,则当为大于2的正整数时, 的阶导数是( A )
(A) (B) (C) (D)
(3) 设为常数,则级数( C )
(A) 绝对收敛(B) 条件收敛
(C) 发散(D) 收敛性与的取值有关
(4) 已知在的某个领域内连续,且,,则在点处
( D )
(A) 不可导(B) 可导,且
(C) 取得极大值(D) 取得极小值
(5) 已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解,、是对应齐次线性方
程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是( B )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分15分,每小题5分.)
(1) 求.
解:
(2) 设,其中具有连续的二阶偏导数,求.
解:
(3) 求微分方程的通解(一般解).
解:,.
因此,原方程的通解为
四、(本题满分6分.)
求幂级数的收敛域,并求其和函数.
解:因为所以
显然幂级数在时发散,故此幂级数的收敛域为
又

五、(本题满分8分)
求曲面积分其中是球面外侧在的部分.
解:,则由奥--高公式有
而
所以
六、(本题满分7分)
设不恒为常数的函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且
.证明在内至少存在一点,使得.
证:因且不恒为常数,故至少存在一点,使得于是或
现设,则在上因满足拉格朗日定理的条件,故至少存在一点,使得对于情形,类似地可证得此结果.
七、(本题满分6分)
设四阶矩阵
,,
且矩阵满足关系式,其中为四阶单位矩阵,表示的逆矩阵,.
解:因故
因此
八、(本题满分8分)
求一个正交变换,化二次型为标准形.
解:二次型的矩阵A =