高等数学11-1常数项级数的概念和性质.ppt

无穷级数
无穷级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数
研究性质
数值计算
数项级数
幂级数
第十一章
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常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件
第一节
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正
边形,
这个和逼近于圆的面积 A .
设 a0 表示
即
内接正三角形面积,
ak 表示边数
增加时增加的面积,
则圆内接正
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定义:
给定一个数列
将各项依
即
称上式为无穷级数,
其中第 n 项
叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
次相加, 简记为
一般项
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部分和数列
级数的部分和
当n=1,2,3,
时
又形成一个新的数列,
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当级数收敛时, 称差值
为级数的余项.
则称无穷级数发散.
显然
收敛,
并称 S 为级数的和,
记作
则称无穷级数
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无穷级数收敛性举例:Koch雪花.
做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/,我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”.
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观察雪花分形过程
第一次分叉:
依次类推
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例1. 讨论等比级数
(又称几何级数)
( q 称为公比) 的敛散性.
解: 1) 若
从而
因此级数收敛,
从而
则部分和
因此级数发散.
其和为
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2). 若
因此级数发散;
因此
n 为奇数
n 为偶数
从而
综合 1)、2)可知,
则
级数成为
不存在, 因此级数发散.
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