双曲线及其标准方程教案.doc

双曲线及其标准方程
:
(1)  知识与技能:理解双曲线的定义并能独立推导标准方程;
(2)  过程与方法:通过定义及标准方程的挖掘与探究,使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用,提高学生的观察与探究能力;
(3)  情感态度与价值观:通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学****兴趣,培养学生用联系的观点认识问题。
:双曲线的定义
:双曲线方程的推导
:
(一)复****回顾
定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2(2>|F1F2|)的点的轨迹
表达式
标准
方程
()
M(x,y)
y
F2(0,c)
F1(0,-c)
x
( )
图形
焦点
的关系
(二)双曲线的定义:
:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?
2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于),两个焦点之间的距离叫做焦距.
(使用几何画板).
4. (*)
注意:①(*)式中是差的绝对值,在条件下:
时为双曲线的一支(含的一支);
时为双曲线的另一支(含的一支).
②当时,表示两条射线.
③当时,不表示任何图形.
(三).双曲线标准方程的推导: :求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导.
标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是,、F2的距离的差的绝对值为.
(2)点的集合:由定义可知,双曲线就是集合: }.
(3)代数方程, ,
(4)化简方程:将这个方程移项,使式子两边平衡,再两边平方得:,移项整理两边平方可得:
(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)
由双曲线定义, 即,所以设,代入上式得:. 即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程.
两种标准方程的比较(引导学生归纳):
(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里.
(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)
强调指出:
(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中,,但不一定大于;(3)如果项的系数是正的,那么焦点在x轴上;