《数学剖析》教案-第三章 函数极限.doc

在《数学分析》中,所讨论的极限基本上分两部分,第一部分是“数列的极限”,第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系;数列极限是函数极限的特例.
:“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如,数列这种变量即是研究当时,的变化趋势.
我们知道,从函数角度看,数列可视为一种特殊的函数,其定义域为,值域是,即
; 或或.
研究数列的极限,即是研究当自变量时,函数变化趋势.
此处函数的自变量n只能取正整数!因此自变量的可能变化趋势只有一种,,如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为,那么情况又如何呢?具体地说,此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢?
为此,考虑下列函数:
类似于数列,可考虑自变量时,的变化趋势;除此而外,也可考虑自变量时,的变化趋势;还可考虑自变量时,的变化趋势;还可考虑自变量时,的变化趋势, .
由此可见,函数的极限较之数列的极限要复杂得多,,、运算、证明方法上都类似于数列的极限.
下面,我们就依次讨论这些极限.
§1 函数极限的概念
教学目标:掌握各种函数极限的分析定义,能够用分析定义证明和计算函数的极限.
教学要求:掌握当;;;;;时函数极限的分析定义,并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限.
教学建议:,并用函数极限的分析定义求函数的极限.
一、时函数的极限
(一) 引言
设函数定义在上,类似于数列情形,我们研究当自变量时,?回答是可能出现,但不是对所有的函数都具此性质.
例如无限增大时,无限地接近于0;无限增大时,无限地接近于;无限增大时,,所以才有必要考虑时,,这样当时,对应函数值无限地接近于某个定数A的函数称为“当时有极限A”.
问题如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.
(二) 时函数极限的定义
定义1 设为定义在上的函数,,存在正数M,使得当时有,
或.
(三) 几点注记
义1中作用与数列极限中作用相同,衡量与A的接近程度,正数M的作用与数列极限定义中N相类似,表明充分大的程度;但这里所考虑的是比M大的所有实数,而不仅仅是正整数n.
2、的邻域描述:当时,
3、的几何意义:对,就有和两条直线,形成以A为中心线,以为宽的带形区域.“当时有”表示:在直线的右方,曲线
全部落在这个带形区域内.
如果给得小一点,即带形区域更窄一点,那么直线一般往右移;但无论带形区域如何窄,总存在正数M,使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.
4、现记为定义在或上的函数,当或时,若函数值能无限地接近于常数A,则称当或时时以A为极限,分别记作,
或,
或.
这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,简写如下:
当时,,
当时,.
5、推论设为定义在上的函数,则
.
(四) 利用=A的定义验证极限等式举例
例1 证明.
例2 证明 1);2).
二、时函数的极限
(一) 引言
上节讨论的函数当时的极限,是假定为定义在上的函数,这事实上是,即为定义在上,考虑时是否趋于某个定数A.
本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数,.现在讨论当时,对应的函数值能否趋于某个定数A数列.
先看下面几个例子:
例1 .(是定义在上的函数,当时,).
例2 .(是定义在上的函数,当时,).
例3 .(是定义在上的函数,当时,).
由上述例子可见,对有些函数,当时,对应的函数值能趋于某个定数A;,的变化趋势.
我们称上述的第一类函数为当时以A为极限,记作.
和数列极限的描述性说法一样,?
作如下分析:
“当自变量越来越接近于时,函数值越来越接近于一个定数A”只要充分接近,函数值和A的相差就会相当小欲使相当小,,当时,.
(二) 时函数极限的定义
定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义,A为定数,若对任给的,使得当时有,则称函数当趋于时以A为极限(或称A为时的极限),记作或(.
(三) 函数极限的定义的几点说明
1、是结论,是条件,即由推出.
2、是表示函数与A