【微积分】无限小与无限大年夜.ppt

当
第三节无穷小与无穷大一、无穷小
定义1 . 若
时, 函数
则称函数
例如:
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
为
时的无穷小.
注意
(1)无穷小是变量, 不能与很小的数混淆;
(2)零是可以作为无穷小的唯一的数.
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无穷小与函数极限的关系:
证
定理1
其中
是当
时的无穷小.
对自变量的其它变化过程类似可证.
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意义
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
无穷小的运算性质:
定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证
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注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
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定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
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例1
解
也是无穷小.
都是无穷小.
类似可证,
说明: y = 0 是曲线
水平的渐近线.
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推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
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二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
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特殊情形:正无穷大,负无穷大.
注意
(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
(3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
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不是无穷大.
无界.
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