第6章代数插值多项式.ppt

第6章代数插值多项式
Lagrange插值多项式
Newton插值多项式
概述

用简单的、性质良好的函数代替复杂的或无法用解析式表示的函数。

非插值逼近
插值逼近(有理插值/代数插值/样条插值)
插值条件:Pn(xi)=f(xi) -- 节点处值相等
典型Pn(xi):代数多项式
概述
:Weierstrass定理
定理1 任何连续函数都可用多项式一致逼近
定理2 任何连续函数都可用三角函数一致逼近
4. n阶代数插值多项式
(1) 定义
对连续函数f(x), x∈[a,b],若n次多项式Pn(x)满足: Pn(xi)=f(xi) xi互异且xi∈[a,b] i=0,1,…,n则Pn(x)称f(x)是的n阶代数插值多项式。
概述
(2) 存在唯一性
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
由Cramer法则,
概述
(3) 收敛性
[定理] 对连续函数f(x), x∈[a,b], Zn(x)是其n阶代数插值多项式,假设: ①在[a,b]内只有有限个奇点 ②节点xi+1>xi(i=0,1,…,n)且含所有奇点 ③△x=max(xi+1-xi)
则有Zn(x) → f(x)(△x→0)
注:代数插值多项式收敛的条件
节点包含所有奇点
相邻两节点的距离△x充分小
Lagrange插值多项式

回顾:插值条件[ Pn(xi)=f(xi),节点互异]
关键:构造什么样的多项式?
Lagrange插值:
(1)一阶插值:
Ln(x)=A(x-x1)+B(x-x0) => 求系数A和B
(2)一阶插值:
Ln(x)=A(x-x1) (x-x2)+B(x-x0) (x-x2)+C(x-x0) (x-x1)
=> 求系数A,B,C
Lagrange插值多项式
2. n阶Lagrange插值多项式
Lagrange插值多项式
n阶Lagrange插值多项式的结构特点:
由n+1个n次多项式的线性组合而成
每一项包括:系数Ai和n次多项式wn(x)
n次多项式wn(x)只缺(x-xi)项
Lagrange插值多项式
3. 代数插值多项式余项的计算
定理2
推论:节点值相同的不同插值多项式相等
注:Rn(x)是所有不带重节点的代数插值多项式的余项。