6.Python科学计算与数据处理.ppt

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SymPy
—符号运算库
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目录
从例子开始
欧拉恒等式
球体体积
数学表达式
符号
数值
运算符和函数
符号运算
表达式变换和化简
方程
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目录
微分
微分方程
积分
其他功能
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SymPy是一个符号数学Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统,同时保持代码的精简而易于理解和可扩展。SymPy完全由Python写成,不需要任何外部库。
可用SymPy进行数学表达式的符号推导和演算。可使用isympy运行程序,isympy在 IPython的基础上添加了数学表达式的直观显示功能。启动时还会自动运行下面的程序:

这段程序首先将Python的除法操作符“/”从整数除法改为普通除法。然后从SymPy库载入所有符号,并且定义了四个通用的数学符号x、y、z 、t,三个表示整数的符号k、m、n,以及三个表示数学函数的符号f、g、h。
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from __future__ import division
from sympy import *
x, y, z, t = symbols('x,y,z,t')
k, m, n = symbols('k,m,n', integer=True)
f, g, h = symbols('f,g,h', cls=Function)
#init_printing()

从例子开始
欧拉恒等式

此公式被称为欧拉恒等式,其中e是自然常数,i是虚数单位, 是圆周率。此公式被誉为数学中最奇妙的公式,它将5个基本数学常数用加法、乘法和幂运算联系起来。
从SymPy库载入的符号中,E表示自然常数,I表示虚数单位,pi表示圆周率,因此上面的公式可以直接如下计算:
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>>>E**(I*pi)+1
0

从例子开始
SymPy除了可以直接计算公式的值之外,还可以帮助做数学公式的推导和证明。欧拉恒等式可以将代入下面的欧拉公式得到:
在SymPy中可以使用expand()将表达式展开,用它展幵试试看:
没有成功,只是换了一种写法而已。当expand()的complex参数为True时,表达式将被分为实数和虚数两个部分:
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>>> expand( E**(I*x))
exp(I*x)

从例子开始
这次将表达式展开了,但是得到的结果相当复杂。显然,expand()将x当做复数了。为了指定x为实数,需要重新定义x:

终于得到了需要的公式。可以用泰勒多项式对其进行展开:
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>>> expand(exp(I*x), complex=True)
I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + exp(-im(x))*cos(re(x)) 
>>> x = Symbol("x", real=True)
>>> expand(exp(I*x), complex=True)
Isin(x)+cos(x)

从例子开始
series()对表达式进行泰勒级数展开。可以看到展开之后虚数项和实数项交替出现。根据欧拉公式,虚数项的和应该等于sin(x)的泰勒展开,而实数项的和应该等于cos(x)的泰勒展开。
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>>>tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10)
>>> print tmp
1 + I*x - x**2/2 - I*x**3/6 + x**4/24 + I*x**5/120 - x**6/720 - I*x**7/5040