北京航空航天大学大一高数复习总结.docx

高数总结
一,定理与限制条件
1,单调有界数列必定收敛(这一般是隐含条件)
2,证明一元函数f(x)极限不存在的常用方法有:
若遇到arctanx或者arctanx要分别求.
(2)不存在,或使
3,利用极限运算法则求极限,前提是的极限都存在,当或都不存在时,,,的极限均不确定成立。
4,用等价无穷小求极限的注意事项:
(1)在乘除法中可以用等价无穷小替换,加减法中不可以随便用等价无穷小替换。
(2)最常用于解题的等价无穷小替换:
(主要用于加减法变换)
(用于加减法变换)
5,使用洛必达法则的前提是型,型否则不可以使用。
6,用递归数列求极限:对任意数列,若满足,其中0<k<1,则一定有
7,连续性:若称在连续。(某一邻域)
设在的空心邻域或者单侧空心邻域内有定义,不
是的连续点,则称是的间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点,可去间断点的特征是与均存在,且但是,跳跃间断点的特征是与均存在,但。
第二类间断点:无穷间断点的特征是:与至少有一个为。
8,有界闭区间上的连续函数的有界性:
如果在[a, b]上连续,则在[a,b]上有界,则,使得
9,可导、可微、连续的关系
可导可微连续可微
10,参数方程:

则
如果则
11,如何判断原函数的存在性:
当函数在区间I上连续时,则在区间I上存在原函数
若在区间上存在第一类间断点,则在该区间上不存在原函数
12,定积分:定积分要求积分区间有限,被积函数有界
可积的充分条件:〈1〉在[a, b]上连续
〈2〉在[a, b]上有界且有有限个间断点
〈3〉在[a, b]上单调
可积的必要条件:在[a, b]上可积,则有在[a, b]上有界
13,应用牛顿—莱布尼茨公式的前提是:原函数在积分区间连续
14,反常积分:
15,应用题进行微元分割法的步骤;
分割→近似→求和→取极限
16,极坐标的面积公式:
直角坐标与极坐标的变换公式:
17,平面曲线弧长公式:参数公式;

显示方式:
极坐标方式:
18,曲率:
参数方程:

则
显示方程:
显示推导;
19,旋转体的体积:体积=周长×高×水平微分厚度

20,旋转面的面积:当绕X轴旋转且是弧线时

当弧线为极坐标方程时:

21,常见积分变换
当遇到时,进行如下变换

令则
当n为奇数时,当n为偶数时
22,极值第一充分条件判别定理:
设在连续,在可导,若时,时,则在取极大值,且可以是的不可导点。
极值第二充分判别定理:
设在点二阶可导且,当时为极大值
当时,为极小值,当待定
23,设在的某领域连续,函数在的左右两侧的凹凸性正好相反,则是曲线的拐点。
拐点的必要条件:或不存在
渐近线:和可以有不同的渐近线
24,
可以用上式在适当的条件下证明在某区间上
存在零点
有一阶线性方程的积分因子知:
同理在某区间上存在零点的零点存在性。
25,泰勒公式:其中。
唯一性:



26,二元函数极限不存在的判定问题:
方法:当沿不同的路径趋于时,趋于不同的值
当沿某路径趋于时,趋于或者不存在
27,偏导数连续性,函数可微性,可偏导性和函数连续性的关系
在连续在可微连续,

在可偏导且和
28,复合函数求导
是作为的三元函数求与作为作为的二元函数求的含义是不同的。
偏导数的极值点必定是驻点,但驻点不一定是极值点。
29,多元函数极值的充分条件:
设在点的某邻域有连续的二阶偏导数,又有和,令,,
时,在取极值,且当时取极小值,时取极大值。
时,不是的极值点。
时不确定。
拉格朗日乘数法求极值通式:
30,二重积分坐标变换
设在有界闭区域D上连续,若D关于对称,则当对为奇函数时,其中关于为偶函数,。
若关于轴对称,则当关于为奇函数时,当关于为偶函数其中.
若关于原点对称,则
当关于为奇函数时即则
当关于为偶函数时,则
若关于对称,则,能推出
线性代数
1,行列式公式:



2,求秩行列变换可混用,求逆只能用行或列变换,求线性方程组只可以用行变换。
二阶矩阵的伴随矩阵有主对角线互换,副对角线变号的规律,其余矩阵无此规律。
正交矩阵即
3,逆矩阵的运算规律:



4,矩阵的转置规律:


5,伴随矩阵的规律:


6,分块矩阵的运算:


7,矩阵等价向量组等价矩阵等价

指两个向量组可以相互表示出(两个向量组个数可以不一样,线性相关性也可不一样)
两个等价的线性无关