《线性代数》总复习.ppt

《线性代数》总复****br/>
矩阵
m×n个数构成的m行n列的数表
加法:A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵
A + B = B + A,
(A + B) + C = A + (B + C),
A + O = A, A + (A) = O,
数乘:kA=k(aij)
k(lA) = (kl)A,
(k + l)A = kA + lA,
k(A + B) = kA + kB
cij =  aikbkj.
k=1
s
矩阵乘法:AB=C,其中
C是m×n矩阵.
(AB)C = A(BC),
A(B+C) = AB + AC,
(A+B)C = AC+BC,
(kA)B = k(AB).
矩阵
矩阵
矩阵概念
矩阵运算
伴随矩阵
逆矩阵
特殊矩阵
矩阵的秩
初等变换
转置: A=(aij), AT=(aji)
性质:(AT)T = A,
(kA)T = kAT,
(A+B)T = AT + BT,
(AB)T = BTAT.
设A = [aij]nn为方阵, 元素aij的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵
为方阵A的伴随矩阵.
矩阵
矩阵
矩阵概念
矩阵运算
伴随矩阵
逆矩阵
特殊矩阵
矩阵的秩
初等变换
定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得
AB = BA = E.
则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵.
注意:A可逆detA≠0
(A1)1 = A.
(AT)1 = (A1)T.
(kA)1 = k1A1.
(AB)1 = B1A1.
运算性质
逆阵的求法:
定义法
用伴随矩阵
用初等行变换(AE) →(EA-1)
逆阵的证法:
A≠0,R(A)=n, 反证法
矩阵
矩阵
矩阵概念
矩阵运算
伴随矩阵
逆矩阵
特殊矩阵
矩阵的秩
初等变换
单位矩阵
对角矩阵
初等矩阵
对称矩阵
定义:非0子式的最高阶数
求法:初等变换或定义法
性质:经初等变换矩阵的秩不变
几种常用的初等变换及对应的初等矩阵
行阶梯矩阵、行最简型、标准型
矩阵
矩阵
矩阵概念
矩阵运算
伴随矩阵
逆矩阵
特殊矩阵
矩阵的秩
初等变换
其它几个重要定理及结论:
矩阵等价:若矩阵A经过有限次初等变换化为B, ~ B. (注意与相似、合同的区别)
A与B等价R(A)= R(B)
定理. 方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.
推论1. 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。
推论2. m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得 PAQ=B。
与等价有关的重要定理
定理. 对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左
边乘以相应的初等矩阵;
对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以
相应的初等矩阵.
矩阵
行列式
概念
性质
展开式
计算
应用
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…………
an1 an2 … ann
应用数学归纳法
按第一行展开方式定义
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 行列式互换两行(列),行列式变号。
推论: 行列式有两行(列)相同,则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k,等于用数k乘以该行列式。
推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。
性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则此行列式为零。
行列式
行列式
概念
性质
展开式
计算
应用
性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和,即若
性质6 行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,行列式值不变。
则此行列式等于两个行列式之和,即
行列式
行列式
概念
性质
展开式
计算
应用
代数余子式
一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去, 留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式.
行列式
行列式
概念
性质
展开式
计算
应用
可按任意一行(列)展开