北京邮电大学版 线性代数 课后题答案.doc

****题三
(A类)
1. 设α1=(1,1,0),α2=(0,1,1),α3=(3,4,0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.
解:α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)
2. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α),其中α1=(2,5,1,3),α2=(10,1,5,10),α3=(4,1,-1,1).求α.
解:由3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α)
整理得:α=(3α1+2α2-5α3),即α= (6,12,18,24)
=(1,2,3,4)
3.(1)× (2)× (3)√(4)× (5)×
4. 判别下列向量组的线性相关性.
(1)α1=(2,5), α2=(-1,3);
(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);
(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);
(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).
解:(1)线性无关;(2)线性相关;(3)线性无关;(4)线性相关.
5. 设α1,α2,α3线性无关,证明:α1,α1+α2,α1+α2+α3也线性无关.
证明:设
即
由线性无关,有
所以即线性无关.
,向量组
线性相关,并将用线性表示.
解:当a=5时,
7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.
解:因向量(1,0,0,0)与(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)线性无关,
所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量,因(1,0,0,1)与(1,0,1,0),(1,-1,0,0),(1,0,0,0)线性无关,所以(1,0,0,1).
8. :为的一个极大线性无关组.
【证明】若(1)
线性相关,且不妨设
(t<r) (2)
是(1)的一个极大无关组,则显然(2)是的一个极大无关组,这与的秩为r矛盾,故必线性无关且为的一个极大无关组.
9. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.
【解】把按列排成矩阵A,并对其施行初等变换.
当k=1时,的秩为为其一极大无关组.
当k≠1时,线性无关,秩为3,极大无关组为其本身.
10. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),
=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同,且可由线性表出.
【解】由于
而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又
要使可由线性表出,需b-a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求,即=(2,2,0).
11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.
(1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);
(2) α1=(6,4,1,-1,2),α2=(1,0,2,3,-4),α3=(1,4,-9,-6,22),α4=(7,1,0,-1