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因动点产生的梯形问题
例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题
已知直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B.
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形.
①求点D的坐标;
②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E,若,求四边形BDEP的面积.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12松江24”,拖动点P向右运动,可以体验到,D、P间的垂直距离等于7保持不变,∠DPE与∠PDH保持相等.
请打开超级画板文件名“12松江24”, 拖动点P向右运动,可以体验到,D、P间的垂直距离等于7保持不变,∠DPE与∠PDH保持相等,,四边形BDEP的面积为24.
思路点拨
,A、B、C、D四个点必须画准确,其实抛物线不必画出,画出对称轴就可以了.
,不变的是顶点的纵坐标,不变的是D、P两点间的垂直距离等于7.
∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7,那么点P向右平移到直线x=3时,就停止平移.
满分解答
(1)直线y=3x-3与x轴的交点为A(1,0),与y轴的交点为B(0,-3).
将A(1,0)、B(0,-3)分别代入y=ax2+2x+c,
得解得
所以抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,-4).
(2)①如图2,点B关于直线l的对称点C的坐标为(-2,-3).
因为CD//AB,设直线CD的解析式为y=3x+b,
代入点C(-2,-3),可得b=3.
所以点D的坐标为(0,3).
②过点P作PH⊥y轴,垂足为H,那么∠PDH=∠DPE.
由,得.
而DH=7,所以PH=3.
因此点E的坐标为(3,6).
所以.
图2 图3
考点伸展
第(2)①用几何法求点D的坐标更简便:
因为CD//AB,所以∠CDB=∠ABO.
=3BC=6,OD=(0,3).
例2 2012年衢州市中考第24题
如图1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为
?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12衢州24”, 拖动点P在线段OC上运动,可以体验到,在AB的左侧,′在线段AC上运动,可以体验到,Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2.
请打开超级画板文件名“12衢州24”,拖动点P在线段OC上运动,可以体验到,在AB的左侧,存在AM=′在线段AC上运动,.
思路点拨
,那么AB为较长的底边,这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形,AB边分成的3小段,两侧的线段长线段.
2.△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH,可以通过割补得到,即△OFG减去△OEH.
△OEH的面积时,如果构造底边OH上的高EK,那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2.
′移动的水平距离为m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示.
满分解答
(1)将A(1,2)、O(0,0)、C(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,
得解得,,. 所以.
(2)如图2,过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′,如果梯形ABPM是等腰梯形,那么AM′=BP′,因此yA-y M′=yP′-yB.
直线OC的解析式为,设点P的坐标为,那么.
解方程,得,.
x=2的几何意义是P与C重合,.
图2 图3
(3)如图3,△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH,作EK⊥OD于K.
设点A′移动的水平距离为m,那么O