2004全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案详解.doc

2004年数学四试题分析、详解和评注
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1) 若,则a =,b =.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为,且,所以
,得a = 1. 极限化为
,得b = -4.
因此,a = 1,b = -4.
【评注】一般地,已知= A ,
(1) 若g(x) ® 0,则f (x) ® 0;
(2) 若f (x) ® 0,且A ¹ 0,则g(x) ® 0.
(2) 设,则.
【分析】本题为基础题型,先求导函数即可.
【详解】因为,,
所以,.
【评注】本题属基本题型,主要考查复合函数求导.
类似例题在一般教科书上均可找到.
(3) 设,则.
【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:x - 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x - 1 = t,
=.
【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解.
设,,其中为三阶可逆矩阵, 则
.
【分析】将的幂次转化为的幂次, 并注意到为对角矩阵即得答案.
【详解】因为
, .
故
,
.
【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查.
设是实正交矩阵,且,,则线性方程组的解是.
【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.
【详解】因为, 而且是实正交矩阵, 于是, 的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以
.
【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算.
(6) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则.
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于, 的分布函数为

故
.
【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7) 函数在下列哪个区间内有界.
(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ]
【分析】如f (x)在(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)
在(a , b)内有界.
【详解】当x ¹ 0 , 1 , 2时,f (x)连续,而,,
,,,
所以,函数f (x)在(-1 , 0)内有界,故选(A).
【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续,则f (x)在闭区间[a , b]上有界;
如函数f (x)在开区间(a , b)内连续,且极限与存在,则函数f (x)
在开区间(a , b)内有界.
(8) 设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义,且,
,则
(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ]
【分析】考查极限是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元,
可将极限转化为.
【详解】因为= a(令),又g(0) = 0,所以,
当a = 0时,,即g(x)在点x = 0处连续,当a ¹ 0时,
,即x = 0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x = 0处的连续性
与a的取值有关,故选(D).
【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性.
(9) 设f (x) = |x(1 - x)|,则
(A) x = 0是f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.
(B) x = 0不是f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(C) x = 0是f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.
(D) x = 0不是f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ C ]
【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,
考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.
【详解】设0 < d < 1,当x Î (-d , 0) È (0 , d)时,f (x) > 0,而f (0) = 0,所以x = 0是f (x)
的极小值点.
显然,x = 0是f (x)的不可导点. 当x Î (-d , 0)时,f (x) = -x(1 - x),,
当x Î (0 , d)时,f (x) = x(1 - x),,所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点