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2007清华自主招生数学.doc

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一、解答题
.
,是的中点三角形,.
,A电视机,B影碟机,C线路,D左声道和E右声道,,当且仅当A与B中有一工作,C工作,D与E中有一工作;且若D和E同时工作则有立体声效果.
A
B
C
D
E
求:(1)能听到立体声效果的概率;
(2)听不到声音的概率.
4.(1)求三直线,,所围成三角形上的整点个数;
(2)求方程组的整数解个数.
,△ABC是正三角形,且B、C在双曲线一支上.
(1)求证B、C关于直线对称;
(2)求△ABC的周长.
,称M为开集,当且仅当,,,并证明你的结论.
##Answer##
(1,+∞),单调减区间(-∞,0)(0,1),有极小值f(1)=e
2.【简解】剩下的三角形个数构成数列{},每个三角形边长构成数列{},故
=,它构成以为首项,以为公比的等比数列
==
3.【简解】⑴A、B至少有一个工作,且C、D、E全工作,概率(1-×)××=
⑵1-(1-×)××(1-)2=
4.⑴约束条件为,作出区域
知0≤y≤20
y=0时,0≤x≤60,有61个点;y=1时,2≤x≤59,有58个点;y=2时,4≤x≤58,有55个点,……,y=20时,40≤x≤40,有一个点
共计61+58+55+…+1=651个整点
⑵作图
x可取21,22,…,39,共19个整数解
5.【解析】⑴证明:设直线BC的方程为y=kx+b,与曲线xy=1(x>0)联立,得到
k+bx-1=0, B、C两点的横坐标、是此方程的两个正数解,于是
△=+4k>0,=->0,=

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