2013年高考数学理科一轮复习经典例题——直线与平面的平行判定和性质.doc

典型例题一
例1 简述下列问题的结论,并画图说明:
(1)直线平面,直线,则和的位置关系如何?
(2)直线,直线,则直线和的位置关系如何?
分析:(1)由图(1)可知:或;
(2)由图(2)可知:或.
说明:此题是考查直线与平面位置关系的例题,要注意各种位置关系的画法与表示方法.
典型例题二
例2 是平行四边形所在平面外一点,是的中点,求证:平面.
分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.
证明:如图所示,连结,交于点,
∵四边形是平行四边形
∴,连结,则在平面内,且是的中位线,
∴.
∵在平面外,
∴平面.
说明:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,怎样找这一直线呢?
由于两条直线首先要保证共面,因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知直线和交线平行,:
过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行.
典型例题三
例3 经过两条异面直线,之外的一点,可以作几个平面都与,平行?并证明你的结论.
分析:可考虑点的不同位置分两种情况讨论.
解:(1)当点所在位置使得,(或,)本身确定的平面平行于(或)时,过点再作不出与,都平行的平面;
(2)当点所在位置,(或,)本身确定的平面与(或)不平行时,可过点作,.由于,异面,则,,,确定的平面,则由线面平行判定定理知:,.可作一个平面都与,平行.
故应作“0个或1个”平面.
说明:本题解答容易忽视对点的不同位置的讨论,漏掉第(1),考虑问题必须全面,应区别不同情形分别进行分类讨论.
典型例题四
例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面.
已知:直线,平面,.
求证:.
证明:如图所示,过及平面内一点作平面.
设,
∵,
∴.
又∵,
∴.
∵,,
∴.
说明:根据判定定理,只要在内找一条直线,根据条件,为了利用直线和平面平行的性质定理,可以过作平面与相交,我们常把平面称为辅助平面,它可以起到桥梁作用,把空间问题向平面问题转化.
和平面几何中添置辅助线一样,在构造辅助平面时,首先要确认这个平面是存在的,例如,本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.
典型例题五
例5 :
(1)异面直线的公垂线段及的长;
(2)异面直线和所成的角.
分析:依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段,进而求出其距离;对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解.
解:(1)如图,分别取的中点,连结.
由已知,得≌.
∴,是的中点,
∴.
同理可证
∴是的公垂线段.
在中,,.
∴
.
(2)取的中点,连结,则.
∴和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角.
连结,在中,,,.
由余弦定理,得
.
∴.
故异面直线和所成的角为.
说明:对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决,同时要将转化过程简要地写出来,然后再求值.
典型例题六
例6 如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内.
已知:直线,,,.
求证:.
分析:由于过点与平行的直线是惟一存在的,因此,本题就是要证明,在平面外,不存在过与平行的直线,这是否定性命题,所以使用反证法.
证明:如图所示,设,过直线和点作平面,且.
∵,∴.
这样过点就有两条直线和同时平行于直线,与平行公理矛盾.
∴必在内.
说明:(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据.
(2)本例还可以用同一法来证明,只要改变一下叙述方式.
如上图,过直线及点作平面,设.∵,∴.
这样,与都是过点平行于的直线,根据平行公理,这样的直线只有一条,
∴与重合.∵,∴.

典型例题七
例7 下列命题正确的个数是( ).
(1)若直线上有无数个点不在平面内,则;
(2)若直线平行于平面内的无数条直线,则;
(3)若直线与平面平行,则与平面内的任一直线平行;
(4)若直线在平面外,则.

分析:,还可以按照直线是否在平面内来分类.
解:(1)直线上有无数个点不在平面内,并没有说明是所在点都不在平面内,“无数”并非“所有”.(