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点差法求解中点弦问题
点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差。求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程。用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效,但有一个弊端,不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆(>>0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.
证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有,得
又
【定理2】在双曲线(>0,>0)中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.
证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有
,得
又
【定理3】在抛物线中,若直线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.
证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有
,得
又..
注意:能用这个公式的条件:(1)直线与抛物线有两个不同的交点;(2)直线的斜率存在.
一、椭圆
1、过椭圆+=1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A、B两点,使线段AB被P点平分,求此直线的方程.
【解】法一:如图,设所求直线的方程为y-1=k(x-2),
代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0, (*)
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1、x2是(*)方程的两个根,∴x1+x2=.
∵P为弦AB的中点,∴2==.解得k=-,∴所求直线的方程为x+2y-4=0.
法二:设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
∵P为弦AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又∵A、B在椭圆上,∴x+4y=16,x+4y=,得(x-x)+4(y-y)=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.∴==-,
即kAB=-.∴所求直线方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
2、已知椭圆+=1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.
【解答】解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P为弦AB的中点,∴x1+x2=2x,y1+y2=+=1,①+=1,②
②﹣①得,=﹣.∴﹣=3,整理得:x+y=0.
由,解得x=所求轨迹方程为:x+y=0.(﹣<x<)
∴点P的轨迹方程为:x+y=0(﹣<x<);
3、(2013秋•启东市校级月考)中心在原点,焦点坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为=1 .
【解答】解:设椭圆=1(a>b>0),则a2﹣b2=50①
又设直线3x﹣y﹣2=0与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点(x0,y0)
∵x0=,∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣,
由,得,
∴AB的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1,∴a2=3b2②
联解①②,可得a2=75,b2=25,∴椭圆的方程为:=1故答案为:=1.
4、例1(09年四川)已知椭圆(>>0)的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点,且,求直线的方程.
解:(Ⅰ)根据题意,.
(Ⅱ)椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点
:.由得:.①
若直线的斜率不存在,则轴,这时点P与重合,,与题设相矛盾,:②
②代入①,得整理,得:.
解之得:,或.
由②可知,不合题意. ,从而.
所求的直线方程为,或.
6、(2009秋•工农区校级期末)已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为.
【解答】解:设直线与椭圆的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),则,
两式相减,得=0,(y1﹣y2)(y1+y2)=﹣3(x1﹣x2)(x1+x2),
=﹣3×,因为直线斜率为3,∴=3,
∵两交点中点在直线x=,x1+x2=1,∴3=﹣3×1÷(y1+y2),
∴=﹣.所以中点M坐标为(,﹣).故答案为:(,﹣).
7、如图,在中,,椭圆C:,以E、F为焦点且过点D,点O为坐标原点。
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点K满足,问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且,若存在,求出直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由。
x
y
D
E
F
O
解:(Ⅰ)略: ,
(Ⅱ)分析:∵,
设MN的中点为H,则,此