高校(理工类)数学留数教学(课堂讲义).ppt

§ 留数
一、留数的引入及其定义
二、利用留数求积分
三、函数在无穷远点的留数
四、典型例题
五、小结与思考
一、留数的引入及其定义
设
为
的一个孤立奇点;
内的洛朗级数:
在
.
的某去心邻域
C:邻域内包含
的任一条正向简单闭曲线
留数的引入
0
(高阶导数公式)
0 (柯西-古萨基本定理)
留数的引入
1、留数的定义
设z0为函数f(z)的孤立奇点,那么积分
(其中,C为在z0的足够小邻域内且包含z0于其内部的任何一条正向简单闭曲线)为与C无关的定值。以2πi除这个积分的值,所得的数叫做f(z)在z0的留数,记作
()
留数的定义
很明显,()式右端的积分就是f(z)在以z0为中心的圆环域内的罗伦级数中负幂项c-1(z–z0)-1的系数。所以
Res [f(z), z0]=c-1 ()
2、留数定理
关于留数,我们有下面的基本定理。
 [定理5-2-1](留数定理) 设函数f(z)在区域D内除有限个奇点z1, z2 , z3, …, zn外处处解析。C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么
()
留数定理证明
[证明] 把在C内的孤立奇点zi用互不包含的正向简单闭曲线Ci围绕起来(如图)。那么根据复合闭路定理有:
即
[证毕]
留数定理证明
.
.
.
以2πi除等式两边,得:
留数定理
利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转换为求被积函数在C中的各奇点处的留数。
由此可见,留数定理的效用有赖于如何能有效地求出f(z)在奇点z0处的留数。
一般说来,求函数在其奇点处的留数,只须求出它的罗伦级数中c-1(z–z0)-1项的系数c-1就可以了。但是如果能先知道奇点的类型,对求留数又是更为有利。