线性代数教案 第一章 行列式.doc

授课章节
行列式§1 二阶与三阶行列式§2 全排列及其逆序数
目的要求
理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。
重点难点
二阶与三阶行列式计算
复****…………………………………………………………………………3分钟
§1 二阶与三阶行列式
由个数(i, j =1,2),按下列形式排成2行2列的方形数字表称为一个二阶行列式,并规定它的运算式:
。
通常记为D,即。
同理,由个数(i, j =1,2,3)按下列形式排成3行3列的方形数字表称为一个三阶行列式,并规定它的运算式:

通常记为D,即。
以上的运算法则成为对角线法则。切记它只适于二、三阶行列式。
如解二元一次方程组时,利用加减消元法可得
;
同样,在解三元一次方程组时,也可得
;;。
例1 (1)计算的值。(2)计算的值。(3)求的根。
解:(1)、(2) 从略。
(3)因为
,所以根为x1 =2和 x2 =3 。
三阶行列式定义的特征:
共有3!= 6项相加,其结果是一个数;
每项有3个数相乘: ,而每个数取自不同行不同列,即行足标固定为1 2 3 ,列足标则是1, 2 , 3 的某个排列,项数是1 2 3的全排列数;
每项的符号由列足标排列的奇偶性决定,即符号是。
故三阶行列式可写成

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§2 全排列及其逆序数
定义(排列)n个(不同)自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列,其中自然数称作(第i个)元素。它共有n!个不同的排列。
定义(逆序数)在一个排列中,较大的数在较小的数前面就产生一个逆序数,所有逆序数的总合称为这个排列的逆序数,记做。
逆序数的计算方法: 以 3 2 4 1 5为例,从最小数依次查起,
1 前面有三个数,记3,划去1;2 前面有一个数记1,划去2;3 前面有零个数记0,划去3;4 前面有零个数记0,划去4;5 前面有零个数记0,划去5;这样,τ(3 2 4 1 5)= 3 + 1 + 0 + 0 + 0 = 4 。
奇排列当为奇数时,称为奇排列。
偶排列当为偶数或零时,称为偶排列。
例如τ(231)= 2,所以231是偶排列;τ(321)= 3,321是奇排列。
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内容小结:行列式;
全排列及逆序数
思考题:逆序与逆序数的关系与区别
作业题:P26 1(1)(3),2(2)(4)
备注:
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授课章节
§3 n阶行列式的定义§5 行列式的性质
目的要求
掌握n阶行列式概念与性质
重点难点
n阶行列式的计算
复****…………………………………………………………………………3分钟
§3 n阶行列式的定义
定义4(行列式) 由n2个数aij(i,j =1,2,…,n)组成的n 行n列的 n 阶行列式定义如下:
,
一般可记作D。其中∑表示对所有阶排列的种数进行相加,共有Pn = n!项。 aij 称作(,)位置上的元素。
a11,a22,…,ann称作对角线上元素。
说明:
n 阶行列式共有n!项的代数和。
每项有n个数相乘:,而每个数取自不同行不同列。
每项的符号由列足标排列的奇偶性决定,即符号是。
例2 在六阶行列式中,项应带那种符号。
解:首先将从新排序,以行下标按标准排序为:
,计算列下标排序4 3 1 2 6 5 的逆序数,
τ(4 3 1 2 6 5)= 2 + 2 + 1 + 0 + 1 +0=6,所以前应带有正号。
例3 利用行列式的定义证明
证明由定义
。
例3的结论可推广到一般阶下三角行列式的计算:

类似地,上三角行列式和对角行列式的值也成立同样的结论:
。
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§5 行列式的性质
记: ,,
行列式DT是由行列式D的行与列对应互换所得到,称行列式DT为行列式D的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等,即。
性质2 任意对换行列式的两行(或两列)元素,其值变号。
推论行列式中有两行(或两列)元素对应相同,则此行列式为零。
性质3 行列式中的某行(或某列)的所有元素乘以同一个数k,等于用数k乘以这个行列式,即
。
推论1 行列式中的某行(或某列)的所有元素有公因子k,则这个k可以提到行列式记号外。
推论2 行列式中某行(或等列)的元素全为零,则行列式的值为零。
性质4 行列式中有两行(或两列)对应元素成比例,则此行列