高考圆锥曲线压轴题型总结.doc

高考圆锥曲线压轴题型总结
直线与圆锥曲线相交,一般采取设而不求,利用韦达定理,在这里我将这个问题分成了三种类型,其中第一种类型的变式比较多。而方程思想,函数思想在这里也用得多,两种思想可以提供简单的思路,简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。
题型4有关定点,定值问题。将与之无关的参数提取出来,再对其系数进行处理。
(湖北卷)设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
(I)解法1:依题意,可设直线AB的方程为,整理得
①
设①的两个不同的根,
②
是线段AB的中点,得
解得k=-1,代入②得,>12,即的取值范围是(12,+).
于是,直线AB的方程为
解法2:设
依题意,
(II)解法1:代入椭圆方程,整理得
③
③的两根,
于是由弦长公式可得
④
将直线AB的方程
⑤
同理可得
⑥
假设在在>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,
⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,为半径的圆上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形,A为直角
⑧
由⑥式知,⑧式左边=
由④和⑦知,⑧式右边=

∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆
解法2:由(II)解法1及.
代入椭圆方程,整理得
③
将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨设
∴
计算可得,∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点,∴A、B、C、D四点共圆.
(注:也可用勾股定理证明AC⊥AD)
【点评】第一问可以作为直线与圆的知识点,第二问就作为函数思想算了,未知数一个嘛。
(06辽宁卷)已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,
(I) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时,求P的值。
【解析】(I)证明1:
整理得:
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明2:
整理得: ……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得: ……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得.
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
当时,d有最小值,由题设得.
(山东理)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为
,最小值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
,
(II)设,由得
,
,.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,
,,
,
,解得
,且满足.
当时,,直线过定点与已知矛盾;
当时,,直线过定点
综上可知,直线过定点,定点坐标为
(07湖南理)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的动直线与双曲线相交于两点.
(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;
(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
:由条件知,,设,.
解法一:(I)设,则则,,
,由得
即
于是的中点坐标为.
当不与轴垂直时,,即.
又因为两点在双曲线上,所以,,两式相减得
,即.
将代入上式,化简得.
当与轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是.
(II)假设在轴上存在定点,使为常数.
当不与轴垂直时,设直线的方程是.
代入有