二面角求解方法.doc

二面角的作与求
求角是每年高考必考内容之一,可以做为选择题,也可作为填空题,时常作为解答题形式出现,重点把握好二面角,它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下:
1、定义法:在棱上任取一点,过这点在两个面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法:自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线,和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法:利用s投影面=s被投影面这个公式对于斜面三角形,任意多边形都成立,是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法:
EF2=m2+n2+d2-2mn
P
C
B
A
E
例1:若p是所在平面外一点,而和都是边长为2的正三角形,PA=,求二面角P-BC-A的大小。
分析:由于这两个三角形是全等的三角形,
故采用定义法
解:取BC的中点E,连接AE、PE
AC=AB,PB=PC
AE BC,PE BC
为二面角P-BC-A的平面角
在中AE=PE=,PA=
=900
二面角P-BC-A的平面角为900。
例2:已知是正三角形,平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角
来度量的,本题可利用三垂线定理(逆)来作
平面角,还可以用射影面积公式或异面直线上两点
E
P
C
B
A
F
间距离公式求二面角的平面角。
解1:(三垂线定理法)
取AC的中点E,连接BE,过E做EFPC,连接BF
平面ABC,PA平面PAC
平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC
图1
BE平面PAC
由三垂线定理知BFPC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,E为AC的中点,BE=,EF=
tan=
=arctan
解2:(三垂线定理法)
P
C
B
A
E
F
M
取BC的中点E,连接AE,PE过A做AFPE, FMPC,连接FM
AB=AC,PB=PC
AEBC,PEBC
BC平面PAE,BC平面PBC
图2
平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE
由三垂线定理知AMPC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,AM=,AF=
sin=
P
C
B
A
E
=argsin
解3:(投影法)
过B作BEAC于E,连结PE
平面ABC,PA平面PAC
图3
平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC
BE平面PAC
是在平面PAC上的射影
设PA=1,则PB=PC=,AB=1
,
由射影面积公式得,,
解4:(异面直线距离法)
E
P
C
B
A
D
过A作ADPC,BEPC交PC分别于D、E
设PA=1,则AD=,PB=PC=
图4
BE==,CE=,DE=
由异面直线两点间距离公式得
AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBE,=
[点评]本题给出了求平面角的几种方法,应很好掌握。
例3:二面角的大小为,A是它内部的一点,AB,AC,B、C为垂足