二面角真题.doc

二面角(2010-2012真题)
1.(2012年全国高考课标卷)如图,直三棱柱中,是棱的中点,。
(1)证明:;
(2)求二面角的大小。
2.(2012年全国高考全国卷一)如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,
是上的一点,。
(1)证明:平面;
(2)设二面角为,求与平面所成角的大小。
3.(2011年全国高考课标卷)如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD。
(Ⅰ)证明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。
4.(2011年全国高考全国卷一)如图,四棱锥中, ,,侧面为等边三角形,。
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的大小。
5.(2010年全国高考全国卷一)如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC。
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小。
6.(2010年全国高考全国卷二)如图,直三棱柱中,,,为的中点,为上的一点,。
(Ⅰ)证明:为异面直线与的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°,求二面角的大小。
二面角(2010-2012真题)参考答案
1.(2012年全国高考课标卷)
【试题解析】(1)证明:在中, 得:,
同理: 得:面。
(2)解:面,
取的中点,过点作于点,连接,
,面面面。
得:点与点重合。
且是二面角的平面角。
设,则,。
既二面角的大小为。
2.(2012年全国高考全国卷一)
【试题解析】设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设。
(Ⅰ)证明:由得, 所以,,,所以,
。所以,,所以平面;
(Ⅱ)解:设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角
为,所以,解得。
所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为。
3.(2011年全国高考课标卷)
【试题解析】(Ⅰ)因为, 由余弦定理得,从而BD2+AD2= AB2,故BDAD
又PD底面ABCD,可得BDPD,所以BD平面PAD. 故PABD。
(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,则
,,,。
设平面PAB的法向量为=(x,y,z),则
即,
因此可取=。
设平面PBC的法向量为,则
可取=(0,-1,), 所以。
故二面角A-PB-C的余弦值为。
4.(2011年全国高考全国卷一)
【试题解析(Ⅰ)证明:取中点,连结,则四边形为矩形,。
连结,则,。
又,故,所以为直角。(3分
)
由,,,得平面,所以。
即与两条相交直线、都垂直,
所以平面。(6分)
另解:由已知易求得,于是,可知。
同理可得,又,所以平面。(6分)
(Ⅱ)解:由平面知,平面平面。
作,垂足为,则平面ABCD,。
作,垂足为,则。
连结,则,又,
故平面,平面平面。(9分)
作,为垂足,则平面。
,即到平面的距离为。
由于,所以平面,到平面的距离也为,
设与平面所成的角为,则,。(12分)
6.(2010年全国高考全国卷一)
【试题解析】解法一:
(Ⅰ)证明:连结BD,取DC的中点G,连结BG,由此知DG=GC=BG=1,即△DBC为直角三角形,故BC⊥BD。
又SD⊥平面ABCD,故BC⊥SD,
所以,BC⊥平面BDS,BC⊥DE。
作BK⊥EC,K为垂足,因平面EDC⊥平面SBC,故BK⊥平面EDC,BK⊥DE。
即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。
所以 DE⊥平面SBC,DE⊥EC,DE⊥SB。
SB=,
DE=,
EB=,SE=SB-EB=。
所以SE=2EB。
(Ⅱ)解:由SA=,AB=1,SE=2EB,AB⊥SA,知
AE=,又AD=1,故△ADE为等腰三角形。
取ED中点F,连结AF,则AF⊥DE,AF=。
连结FG,则FG∥EC,FG⊥DE,
所以,∠AFG是二面角A—DE—C的平面角。
连结AG,AG=,FG=,
,
所以,二面角A—DE—C的大小为120°。
(2010年全国高考全国卷二)
【试题解析】解法一:(Ⅰ)证明:连接,记与的交点为F。
因为面为正方形,故,且。
又,所以,又D为的中点,
故,。
作,G为垂足,由知,G为AB中点。
又由底面面,,则,
故,由三垂线定理,得。
所以DE为异面直线与CD的公垂线。
(Ⅱ)解:因为,故为异面直线与CD的夹角,。
设,则。
作,