第6章非线性振动-2.ppt

第6章非线性振动
振动理论及其应用
非线性振动概述
非线性振动的定性分析方法
非线性振动的近似解析方法
非线性振动的数值分析方法
分叉与混沌的概念
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点(平衡位置)附近的运动稳定性,它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治系统,而且不能定量地计算系统运动的时间历程,不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解,因此,对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
谐波平衡法
谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用系数未知的傅立叶级数表示,然后将外激励展成同样周期的傅立叶级数,代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数相等,得到未知系数的线性代数方程组,解方程组,得到振动系统微分方程傅立叶级数形式的解。
讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动:
设方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
其中,
将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数:
将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力一起代入动力学方程中,整理各阶谐波的系数,令相同谐波分量的系数相等,就可以得到级数形式解中各个待定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组:
解线性代数方程组,得到方程级数解的系数。
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
摄动法
讨论带小参数的单自由度非自治系统:
其中,e为与变量 x,t 无关的常数。当e充分小时,系统为弱非线性系统,e 称作小参数。
当e = 0 时,上述系统退化为一个派生系统
设派生系统的周期解为 x0 (t) ,当观测到原系统也存在周期解时,可以在派生系统周期解的基础上加以修正构成原系统的周期解x (t,e) ,并展开为 e 的幂级数
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
将原系统周期解的表达式代入原方程两端,并将f(x, )在基本解(x0, )的领域内展开成泰勒级数:
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
按e 幂次整理方程,由于方程对e 的任意值均成立,并要求方程两边e 的同次幂的系数相等,因此可以导出方程各阶近似解的线性微分方程:
由方程的第一式解出派生系统的解,依次代入下一式求出各阶近似解,就可得到原系统的解。这种将弱非线性系统的解按小参数的幂次展开,以求渐近解的方法称为正规摄动法或直接展开法。
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
例题6-2
用直接展开法求解杜芬(Duffing)方程
给定初始条件
将方程右端直接展开为级数的形式
代入方程
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
按同次幂相等的条件得到
第6章非线性振动 6. 3 非线性振动的近似解析方法
由式
获得基本解为
将基本解代入
得
解关于x1的线性微分方程得