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高一函数大题(附答案).docx


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函数大题练****br/>1、对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
①对任意的,总有;
②当时,总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
(1)试问函数是否为函数?并说明理由;
(2)若函数是函数,求实数的值;
(3)在(2)的条件下,讨论方程解的个数情况。
解:(1)当时,总有,满足①,
当时,,满足②
(2)若时,不满足①,所以不是函数;
若时,在上是增函数,则,满足①
由,得,
即,
因为
所以与不同时等于1

当时, ,
综合上述:,a=1
(3)根据(2)知: a=1,方程为,
由得
令,则
由图形可知:当时,有一解;
当时,方程无解。
2、,
(1)求在上的解析式.
(2)请你作出函数的大致图像.
(3)当时,若,求的取值范围.
(4)若关于的方程有7个不同实数解,求满足的条件.
[解](1)当时,.
(2)的大致图像如下:.
(3)因为,所以
,
解得的取值范围是.
(4)由(2),对于方程,当时,方程有3个根;当时,方程有4个根,当时,方程有2个根;当时,方程无解.…15分
所以,要使关于的方程有7个不同实数解,关于的方程有一个在区间的正实数根和一个等于零的根。
所以,即.
3、对于函数,若存在,使成立,则称点为函数的不动点。
(1)已知函数有不动点(1,1)和(-3,-3)求与的值;
(2)若对于任意实数,函数总有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)若定义在实数集R上的奇函数存在(有限的) 个不动点,求证:必为奇数。
解:(1)由不动点的定义:,∴
代入知,又由及知。
∴,。
(2)对任意实数,总有两个相异的不动点,即是对任意的实数,方程总有两个相异的实数根。
∴中,
即恒成立。故,∴。
故当时,对任意的实数,方程总有两个相异的不动点。………...................1’
(3)是R上的奇函数,则,∴(0,0)是函数的不动点。
若有异于(0,0)的不动点,则。
又,∴是函数的不动点。
∴的有限个不动点除原点外,都是成对出现的,
所以有个(),加上原点,共有个。即必为奇数。
4、已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数)。
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求在上的最小值,及取得最小值时的,并猜想在上的单调递增区间(不必证明);
(3)当时,证明:函数的图象上至少有一个点落在直线上。
解:(1)时,, 则,
∵函数是定义在上的奇函数,即,
∴,即,又可知,
∴函数的解析式为,;
,
∵,, ∴,
∵,∴,
即时, 。
猜想在上的单调递增区间为。
(3)时,任取,∵,
∴在上单调递增,即,即,,
∴,
∴,∴当时,函数的图象上至少有一个点落在直线上。
5、设函数f(x)=ax+bx+1(a,b为实数),F(x)=
(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立,求F(x)表达式。
(2)在(1)的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。
(3)设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,求证:F(m)+F(n)>0。
解:(1)

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