GCT线性代数辅导讲义.doc

GCT线性代数辅导
第一讲行列式
一. 行列式的定义
一阶行列式定义为
二阶行列式定义为
在阶行列式中,划去元素所在的第行第列,剩余元素构成阶行列式,称为元素的余子式,记作.
令,称为的代数余子式.
阶行列式定义为
.
二. 行列式的性质
,其值不变.
,其值变号.
–
,可以将公因子提到行列式外.
,行列式可以拆成两个行列式的和.
由以上四条性质,还能推出下面几条性质
,则行列式的值为0.
,则行列式的值为0.
,则行列式的值为0.
,其值不变.


等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和,即

按列展开定理



按列展开的性质


;
上(下)三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.

消零降阶法.
消为特殊行列式(上(下)三角行列式或和对角行列式)..
典型****题
1. =( )。()
2. 设的代数余子式,则=( ) (-2)
( ) (2)
4.=( ) ()
,则=( ) (1)
6.( ) ()
7.,则( ), (0)
8.,则( )( ) (或)
(8M)
10. 的根的个数是( ) (1)
( )
12. 设是方程的三个根, 则行列式的值为( ) (0)
第二讲矩阵

.
,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质.
,左(右)乘分配律等.
若是阶方阵,则
特殊方阵

定义:
可逆
公式:
可逆矩阵的运算性质
4. 伴随矩阵
定义:
基本关系式:
与逆矩阵的关系:
行列式:
秩:

设是阶方阵,是矩阵,若可逆,则矩阵方程有解,其解为
设是阶方阵,是矩阵,若可逆,则矩阵方程有解,其解为

矩阵的初等行(列)变换:
交换两行(列);
用一个非零常数乘某一行(列);
某行(列)的倍加到另一行(列)上.
(初等行变换)


在矩阵中,任取行列,位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个阶行列式,称为矩阵的一个阶子式.
若矩阵中有一个阶子式不为零,而所有阶子式全为零,则称矩阵的秩为。矩阵的秩记作.
显然有
中有一个阶子式不为零;
中所有阶子式全为零.
对于阶方阵,
对于阶方阵,若,则称是满秩方阵.
重要定理
对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩.
矩阵的秩的求法
阶梯形矩阵
满足以下条件的矩阵称为阶梯形:
所有零行都在矩阵的底部;
非零行的第一个元素称为主元,每个主元在前一行主元的右方;
(初等变换)阶梯形,则中主元的个数
4. 矩阵的秩有以下一些常用的性质:
(1)..
(2).
(3)
(4)若,则,其中为矩阵的列数.
(5)若可逆,,则.
典型****题
1. 都是阶阵,则下列结论不正确的是( )
A . B.
C. D. (A) 2.,且,求, . (-108, 32/3)
3., 则( )

A. B. C. 1 D. (B)
5. ,则( ) ( )
6. 都是阶阵,.则下列结论正确的是( )
A. C. D. (B)
,
A. B. C. D. (A)
( )
. B. .不可逆. (B)
9. 设,则()
10. .设,则
(A)1或2 (A)1或3 (A)2或3 (A)3或4 (A)
11., 则( )。(1)
,( )时。(-3)
( )。(1)

A. B. C. D. (D)
15. 设,三阶矩阵,且满足,则
A. B.
C. D. (A)
第三讲向量
一. 向量组线性相关与线性无关

设是维向量,是数,则
称为向量的一个线性组合.
若,称可由线性表出.
线性相关与线性无关
定义设是维向量,若存在不全为零的数,使得
,