线代基本复习题.doc

2010年度第二学期《线性代数》期末考试安排
预计考试时间:2011年5月7日
考场
班级
课室容量
期末答疑安排
答疑时间:
答疑地点: 平时上课的课
若干公式
|A*|=|A|n-1, A*A=| A|I,|AT|=|A|,|lA|=ln|A|,j(A)的特征值j(l)

基本问题
Ch1计算行列式, 求逆矩阵
Ch2判断线性相关性, 求秩, 求最大无关组
Ch2解线性方程组(齐次的和非齐次的)
Ch3求矩阵(方阵)特征值和特征向量
Ch3矩阵的对角化
Ch4向量组的正交化
Ch4二次型的正交标准化
Ch4二次型正定性的判断
Ch1计算行列式
(P35)计算下列行列式
(2)
求逆矩阵
(P34)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
(1)
Ch2判断线性相关性
(P63)讨论下列向量组的线性相关性
(3)
Ch2求秩, 求最大无关组
(P63)求下列矩阵的秩
(3)
补充: 最大无关组有
Ch2解线性方程组(齐次的)
求解下列齐次线性方程组
(1) ;
(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换
得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为
,
方程组的解为
.
Ch2解线性方程组(非齐次的)
求下列非齐次线性方程组的通解
(1)
对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形
立刻得到方程组的解
Ch3求特征值和特征向量
(P80)求下列矩阵的特征值和特征向量
(3)
(3)解特征方程
得特征值.
对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵
,
可见特征向量为.
对于特征值, .
可见特征向量为(不全为0).
Ch3矩阵的对角化
, 并求, 使(为对角阵)
(1)
解特征方程
得特征值.
对于,, 得特征向量. 选.
对于,, 得特征向量(k2, k3不全为0). 选..
令, 则有.
Ch4向量组的正交化
(P107)设试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.
正交化:
单位化:
Ch4二次型的正交标准化
(P108) 用正交变换化下列二次型为标准形
(2)
二次型的矩阵为. 解特征方程
,
得的特征值,,.
对于特征值, , 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
是正交的. 令
,
则是正交的. 作正交变换, 则给出的二次型化为标准形
.
Ch4二次型正定性的判断
:
(1)
(2)
(1)二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是负定的.
(2) 二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是正定的.
若干联系
向量组构成矩阵
线性组合
向量能由向量组线性表示Û有解Û
向量组线性相关Û有非零解Û(=向量个数=未知数个数)
基础解系含个解向量.
部分定理
若线性无关, 而线性相关. 则可以由线性表示.
()线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合