线代与解几复习 1.doc

线代与解几复习__11、行列式的性质与计算
法一:拉普拉斯定理展开
⑴寻找行列式中最简单的一行(列)⑵利用初等变换将该行(列)化为只有一个非零元素
⑶利用拉普拉斯定理,按这一行(列)展开;⑷重复以上步骤,直到降为2阶,3阶行列式。
法二:利用三角形行列式
对行列式施以初等变换,使其化为三角形行列式,利用三角形行列式的特殊结论计算。
法三:利用行列式的定义
注意:阶行列式的计算不存在对角线法则。
2、(克莱姆法则) 若线性方程组
的系数行列式, 则线性方程组(1)有且仅有唯一解,其解为,其中是把中第列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式.
3、矩阵的加减运算(条件:同型矩阵),数乘运算(无条件:任何矩阵都可以进行数乘运算),矩阵的乘法(条件:左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数),矩阵的乘法一般不满足交换律,即,如果两矩阵相乘, 有则称A与B可换. 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出
矩阵乘法满足的运算律:
①结合律,②左、右分配律,
③
矩阵的转置(或).性质:
对称矩阵(). 性质:⑴,⑵若为对称矩阵,则也为对称矩阵,但不一定为对称矩阵。⑶对任意矩阵,均为对称阵。
方阵的幂,且规定
例已知,求。
解:
n阶方阵的行列式|A|满足运算规律(设为阶方阵, 为常数):
①②③
逆矩阵(存在阶方阵,使,则称为可逆矩阵或非奇异阵)
性质(1)可逆矩阵有唯一的逆矩阵,(2)若可逆,则也可逆且
(3)若同阶方阵都可逆,则可逆且;反之,若可逆,则
也可逆,(4)若可逆,则也可逆且, (5) 且可逆,且可逆,(6)若矩阵可逆, 也可逆且。
例若满足,求证:可逆,并求。
例已知矩阵满足,求证与不同时可逆。
分块矩阵的计算(把子快作为元素看待)
矩阵的初等变换
对A的行施以某种初等变换得到的矩阵,相当于用相应的初等矩阵左乘A ,对A的列施以某种初等变换得到的矩阵,相当于用相应的初等矩阵右乘A
(逆矩阵定理)设为阶矩阵,那么下列各命题等价:
(1)是可逆矩阵;(2)齐次线性方程组只有零解;(3)可以经过有限次初等行变换化为;(4)可表示为有限个初等矩阵的乘积.
矩阵的秩(不为零的子式的最高阶数)
行阶梯形矩阵:(1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2) 每一行第一个非零元的所在列中,该非零元下方的元素全为0.
行最简形矩阵:(1) 每一行第一个非零元都是1;(2) 每一行第一个非零元的所在列的其余元素都是零.
利用初等变换求矩阵的秩的方法:用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.
求逆矩阵:伴随矩阵法与初等变换法
伴随矩阵:行列式的各个元素的代数余子式所构成的矩阵
伴随矩阵法①求判断是否可逆,②求出所有,③由公式,求出的逆矩阵,特别有,二阶方阵可逆,则
初等变换方法(1)作一个的矩阵; (2)对矩阵作单一的行变换(3)
解矩阵方程,例求解矩阵方程,则。也可对作单一的行变换,则。
4、解线性方程组
设非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩, 即且当时有唯一解;当时有无穷多解.
设齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩
对非齐次线性方程组,将增广矩阵化为行阶梯形矩阵,便可直接判断其是否有解,若有解,化为行最简形矩阵,便可直接写出其全部解. 其中要注意,当时,的行阶梯形矩阵中含有个非零行,把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量,其余个作为自由未知量.
对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵,便可直接写出其全部解.
5、(投影定理) 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦, 即其中为向量与轴的夹角。
6、非零向量的方向角、模与坐标
7、两向量的数量积(内积) ,为向量与的夹角,、,,
⊥的充分必要条件是,向量内积的运算规律, 1) 交换律: ,2) 分配律: ,3) 结合律:
8、向量的向量积(外积) ,其模,其方向按成右手系确定,为向量与的夹角。是以为邻边的平行四边形的面积。设、,则与的向量积
//的充分必要条件是
运算规律 1) (即不满足交换律), 2) 分配律:

3) 结合律:
。
设、,,则
若,则它们共面的充要条件是:
即
10、平面的方程
(1) 点法式方程平面,上的点与其法向量,则
(2) 平面的一般方程,,其中不全为零
(3)截距式方程, ,其中称为平面在三坐标轴上的截距。
, (1) 若,平面过原点,(2)中有一个为零,则平面平行于坐标轴,例平面方程为,平面平行于轴;
(3)中有两个为零,则平面与坐标轴垂直,例