第五章留数及其应用
孤立奇点
留数
留数在定积分计算上的应用
§ 孤立奇点
f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.
将函数 f (z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<d内展开成洛朗级数. 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下:
可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0<|z-z0|<d
则在圆域|z-z0|<d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,从而 f (z).
3. 本性奇点如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
综上所述:
我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.
例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是: f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1),f (m)(z0)0 .
不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成其中在z0解析且, m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点.
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