数值分析试题与答案解析.doc

数值分析试题
填空题(2 0×2′)
设x=*=,则x有 2 位有效数字。
若f(x)=x7-x3+1,则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
设,‖A‖∞=___5 ____,‖X‖∞=__ 3_____,
‖AX‖∞≤_15_ __。
非线性方程f(x)=0的迭代函数x=j(x)在有解区间满足|j’(x)| <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。
当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是: 1 ;所以当系数ai(x)满足 ai(x)>1 ,计算时不会放大f(xi)的误差。
%,至少要取 4 位有效数字。
对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 r(B)<1 。
由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
x
0

1

2

y=f(x)
-2
-
-1

2

牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)| 。
线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的,其中的残差ri= (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii ,(i=0,1,…,n)。
在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f(x)的二阶导数不变号,则初始点
x0的选取依据为 f(x0)f”(x0)>0 。
使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。
判断题(10×1′)
若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求解。( × )
解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。( Ö )
若A为n阶方阵,且其元素满足不等式

则解线性方程组AX=b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。( × )
样条插值一种分段插值。( Ö )
如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。( Ö )
从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。( Ö )
解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。( × )
迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。( × )
数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。( Ö )
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。( × )
计算题(5×10′)
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
解答:
(1,5,2)最大元5在第二行,交换第一与第二行:
L21=1/5=,l31=2/5= 方程化为:
(-,)最大元在第三行,交换第二与第三行:
L32=-=-,方程化为:
回代得:
2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x),并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。
xi
0
1
2
f(xi)
1
-1
3
f ’(xi)
1
5
解答:
做差商表
xi
F(xi)
F[xi,xi+1]
F[++2]
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]
F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]
0
1
1
-1
-2
1
-1
1
3
2
3
4
3
0
2
3
5
1
-2
-1
P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)
R4(x)=f(5)(x)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式,并简单说明收敛的理由。
解答:
交换第二和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优: