高数习题册答案解析1-1.doc

(P15)提示(仅供参考)
(语言)证明:
(1)
证明:,故对,欲使,只需,即。
故对,取(注意:不能写成,以下几个类似),当时有
故
(2)
证明:,故对,欲使,只需,即。
故对,取,当时有
故
(3)
证明:,故对,欲使,只需,
即。故对,取当时有
故
(4)
证明:,故对,欲使,只需,
即。故对,取当时有
故
(5)
证明:,故对,欲使,只需,即。
故对,取当时有
故
(注意:若用夹逼法:)
(6)
证明:,注意到,故
,,欲使,只需,即。
故对,取当时有
故
(注意:若用夹逼法:)
:的充分必要条件是对,只有的有限多项不在
中。
证明:(必要性)若,则,, 时有,故至多有项在不再中。
(充分性)对,只有的有限多项不在中,不妨设不在
中项为,取(即取不在
中项脚标的最大者,故当时有,即。
,则。反之不一定,举例说明。但若,则有
证明:由,有对,,时有,
故对,取时有,故。
反之不一定,例数列。
由,有对,,时有。
故对,取时有,故
5:证明设,,证明
5:证明设,,证明
证明若,
由,有对,,时有
故对,取,当时有
故
若,则由极限的保号性得。
由,有对,,时有
故对,取,当时有
故
6证明:若,有界,则
证明:有界,故可设
由,有对,,时有
故对,取当时有,故。
。
解:否。例,
8(1)设,均收敛,问是否必然收敛。
解:否,例。
(2)设,满足,则。
证明:由,则有对,,时有
,则有对,,时有
故对,取(注意不能取,当时有,故。
(3)设,,收敛,这时能否保证一定收敛?
解:能。不妨设,由有,故
即,故由8(2)一定收敛.
9证明:若单调数列有收敛子列,则
证明:不妨设是单调增的。设子列(也是单调增的)收敛于,
从而对,,时有
对,取,当时有,故

(1)
解
(2)
解
(3)
解:
(公式
(4)
解: ,

故
(5)
解由,有

(6)
解由,有
(7)
解
11求下列极限(夹逼法)
(1)
解,又,故
(2)见学****辅导“例12(2)”
(3)
解,又
(4)
解,
又,故
12 设令都是非负实数,证
解:不妨设,则。
,
故
13 求(必须先证明存在性再设),其中
(1)见学****辅导“例22”
(2) ,
解:有界性:,设,则
单调性:显然,设,则
求极限:设,由取极限得,解出
(3)见学****辅导“例25”
(4),
解有界性:
单调性:

,若,则,否则
求极限:设,由得,故。
15 试判断数列的敛散性:
(1),其中;
解
欲使,只需
故对,取,当时,对都有
即是基本列,故收敛。
(2)
证明:
故是单调增的。又
故也是有界的,故存在,设为。
,故
(A)8(2)知道收敛。
(3)
证明:,对,取,则有
故不是基本列,则发散。
(4)
解
取,对,存在,且满足
故
从而
这说明不是基本列,故发散。
16 设,且,则
证明:对,由知使得当时,
故对,取,当时,故

(1)
(2)