一道与正方形有关的几何题的几种解法.doc

一道与正方形有关的几何题的几种解法
同学们自己发现和提出问题是创新的基础,独立思考、学会思考是创新的核心,归纳概括得到猜想和规律,并加以验证,是创新的重要方法. 那么如何培养同学们的创新能力呢?,希望对提高同学们的创新能力有所帮助.
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的任一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F. 求证:AE=EF.
图1
方法一:构造全等三角形
证明:如图2,在AB上取一点H,使BH=BE,连接EH.
图2
因为∠B=90° , 所以∠BHE=∠BEH=45° .
所以∠AHE=135°.
因为CF平分∠DCG,
所以∠DCF=45°,所以∠ECF=90°+45°=135°.
即∠AHE=∠ECF.
因为AB=BC ,所以AB-BH=BC-BE.
即AH=EC .
因为AE⊥EF,
所以∠AEB+∠FEC=90°.
又因为∠BAE+∠BEA=90°,所以∠BAE=∠CEF.
所以△AHE≌△FCE,所以AE=EF.
方法二:利用等角对等边的性质
证明:如图3,延长FC交AB的延长线于点H,连接EH.
图3
因为FC平分∠DCG ,所以∠BCH=∠FCG=45°.
又因为∠CBH=∠ABC=90° ,所以∠BHC=45°.
所以BH=BC=AB,所以BE是AH的垂直平分线.
即AE=EH,所以∠1=∠2.
又因为AE⊥EF,所以∠3+∠4=90°.
因为∠1+∠3=90°,所以∠1=∠4,所以∠2=∠4.
又因为∠4+∠F=45° ,∠2+∠EHC=45°,
所以∠F=∠EHC ,所以EF=EH,
即AE=EF.
方法三:构造辅助圆
证明:如图4,连接AC、AF.
图4
因为四边形ABCD是正方形,所以∠ACD=45°.
又因为CF平分∠DCG,所以∠DCF=45°.
即∠ACF=90° .
又因为∠AEF=90°,
易知点A、E、C、F在以AF为直径的圆上.
根据同弧所对的圆周角相等,得∠AFE=∠ACE=45°.
所以∠EAF=45°,所以AE=EF.
方法四:利用对称性
证明:如图5,作△ECF关于BG的对称图形△ECH.
连接AC,易知A、C、H三点共线.
图5
因为AE⊥EF ,所以∠3+∠5=90°.