北大附中河南分校2012-2013年校本课程数学培优.doc

北大附中河南分校2012-2013年校本课程数学培优
第三讲三角形的“五心”问题邱常远
三角形的五个“心”
:三角形三条中线交点.
:三角形三边垂直平分线相交于一点. 这一点为三角形外接圆的圆心,称外心。
:三角形三内角的平分线相交于一点. 是三角形的内切圆的圆心,称内心。
:三角形三边上的高相交于一点.
:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
重心的性质:
,中线AD交BC于D, G是重心,则AG=2GD
,A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)的重心G坐标公式
,则===
::在ABC中,AD是交A的平分线BC于D,则
三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心
===
.
一、与三角形“四心”相关的向量问题
1:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
2:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
4:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
5:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
6:三个不共线的向量满足= == 0,则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
7:已知O是△ABC所在平面上的一点,若, 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
8:已知O是△ABC所在平面上的一点,若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
9:已知O是△ABC所在平面上的一点,若,则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
10:已知O为△ABC所在平面内一点,满足,则O点是△ABC