关于分块矩阵的一些理论和应用.ppt

论文内容概要
1、引言
2、预备知识
3、主要结论
4、实例应用
5、论文总结
1 引言
1、研究目的: 本文通过对矩阵分块思想理论的介绍引出其中一种应用,将矩阵分块的方法用到有关矩阵的逆的计算及其证明,特别是找出矩阵分块方法运用的技巧及思想。
2、研究意义:矩阵是数学专业基本业务课高等代数中的主体内容,也是非数学专业高等数学中很多分支研究问题的工具。而为了研究一些复杂的大型矩阵,其中的一种运算规律就是矩阵分块。矩阵分块就是把一个大矩阵中看成由一个个小矩阵块来组成。这种方法可以使得大型矩阵变得简单明了,结构变得更为清楚。灵活运用矩阵分块思想,可以使得解题的过程更简洁,思路更开阔。
研究过程
矩阵分块中首先要求规划分块,然后利用两矩阵的乘积引申到分块矩阵的乘积,从中引出其似同之处。教材上的讲解最为基础,而从中引出的研究方向和应用更是层出不穷,在大学范畴内,绝大部分分块矩阵理论成果都是重点解释分块矩阵的定义,性质,加法乘法,转置,初等变换等运算性质,及分块矩阵在矩阵求逆,行列式展开等方面的应用亦作了较为深入的研究, 而本文又从矩阵分块理论在矩阵求逆的方法及其证明上进行更深入的研究。
2、预备知识
概念定理
矩阵定义初等变换可逆矩阵对角矩阵
矩阵运算
矩阵乘法及其规律
矩阵转置及其规律
运算方法
矩阵分块
初等变换求逆
数学归纳法
3、主要结论
方法
我们来求一下矩阵
的逆矩阵。
显然,经过规划分块后我们完全可以运用初等变换得出结果:

特别地,当C=0时,有。
结论
我们可以运用上述方法和结论来推出一下结论:
(1) ,A、D可逆,则
(2) ,A、D可逆,则
(3) ,A、D可逆,则
(4) ,A、D可逆,则
推论
推论1:如果都是可逆矩阵

那么。


推论2 :如果都是可逆矩阵
那么
。
证明
推论1证明:利用矩阵分块法和数学归纳法。
当n=2时,易知成立
设当n=k≥3时有成立
那么当在n=k+1时,有

令即,即成立。
综上得证。(推论2同理可证)
4、实例应用
我们来求以下可逆矩阵的逆


解:由题我们就可以把矩阵分块化成型,则矩阵
的逆为

又我们知道
则代入得为所求。
论文内容总结
矩阵分块就是把一个大型矩阵中分成一个个的小矩阵块,把这些小矩阵块当成构成矩阵的数(元素),我们将之变形后可以使得矩阵的结构更加简明清晰,从而我们着重运用这种矩阵分块思想进行矩阵运算。通常我们再求大型矩阵的逆是非常麻烦的工作,而灵活运用矩阵分块思想使得这种复杂的工作变得简便,这充分表明矩阵分块思想和技巧值得我们多多运用。本文通过运用矩阵分块方法求逆矩阵并对部分逆矩阵的结论进行了证明,对矩阵分块的作用进行了一定的探究。