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文档列表 文档介绍

科学出版社
第四节
一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
多元复合函数的求导法则
第八章
科学出版社
一元复合函数
求导法则
微分法则
科学出版社
定理1.
在对应点(u, v)可微,
在点 t 可导,
则复合函数
证:
则相应中间变量
且有链法则(见右边的树图)
有增量△u ,△v , 由于 f 可微,所以
上式两端同时除以△t ,得到
一、多元复合函数求导的链式法则
若函数
设△t 为t 的增量,
科学出版社
导数,
(△t<0 时,根式前加“–”号)
为了与偏导数区别, 称为全
全导数还可以写成:
科学出版社
若定理中
注:
如:
易知:
但不可微(验证),此时复合函数
可微减弱为偏导数存在,
则定理结论不一定成立.
科学出版社
推广:
1) 中间变量多于两个的情形.
设下面所涉及的函数都可微.
例如,
定理2. 设
则
偏导数都存在,
科学出版社
例1. 设
其中
求
解:
代入
解法二,
所以
先代入,变成一元函数的求导.
因为
解法一,
科学出版社
例2.
解
设
科学出版社
例3.
的偏导数.
解:
有了多元函数的链法则,
就不需要用对数求导法了.
由
复合而成,
于是
同理可得
求
这是一个幂指函数,
科学出版社
例4. 设
求全导数
解:
注意:
验证解的问题中经常遇到,
下列几个例题有助于掌握
这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀:
分段用乘, 分叉用加.
多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与

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