第七讲 多元函数积分学(一).doc

第七讲多元函数积分学(一)
知识点分析:
一、二重积分
1、二重积分的概念:
设二元函数定义在有界闭区域上,则二重积分
精确定义求极限问题:
先提出,在凑出,可以看出是0到1上的,是0到1上的,是0到1上的
注:①二重积分的存在性,也称二元函数的可积性,设平面有界闭区域由一条或几条逐段光滑闭曲线围成,当在上连续时,或者在上有界,且在除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的,则在上可积。
②极限存在与的分割方式无关。
③几何意义曲顶柱体的体积;物理意义的质量。
2、二重积分的性质
(1)区域面积,其中为区域的面积。
(2)可积函数必有界:当在闭区域上可积时,则在上必有界
(3)线性性质:为常数。
(4)可加性:,。
(5)保号性:若在上,则;
特殊的有。
(6)估值定理:设,的面积为,则有
(7)二重积分中值定理:设函数在闭区域上连续,的面积为,则至少存在一点使得。
3、二重积分的计算
(1)直角坐标系计算法
①型:,在上连续,则
②型:,在上连续,则
(2)极坐标系计算法
其中在上连续,则
注意:型,型和极坐标的相互转化有时可方便解题
4、二重积分的对称性
,记为其对称区域的一半
(1)若关于轴对称,有
(2)若关于轴对称,有
(3)若关于原点对称,有
(4)(轮换对称性)若关于对称,有
若将分成两部分,有
二、三重积分
1、三重积分的概念
设三元函数定义在三维有界空间区域上,则三重积分
方法:先提出,在凑出,可以看出是0到1上的,是0到1上的,是0到1上的,是0到1上的。
2、三重积分的性质
(1)区域面积,其中为区域的面积。
(2)可积函数必有界:当在闭区域上可积时,则在上必有界
(3)线性性质:,为常数。
(4)可加性:,
。
(5)保号性:若在上,则;
特殊的有。
(6)估值定理:设,的体积为,则有
(7)三重积分中值定理:设函数在闭区域上连续,的体积为,则至少存在一点使得。
3、三重积分的计算
(1)坐标平面投影法(二套一)
(2)坐标轴投影法(一套二)
(3)柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”
,,,其中
(4)球坐标计算法
其中
4、三重积分的对称性
(1)若关于平面对称,则
为对称区域的一半。
同理与关于平面对称和平面对称
(2)轮换对称性:若关于具有轮换对称性(即若,将意互换后的点也属于),则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值
当:,有
三、重积分的应用
1、曲面的面积
设曲面由方程组成,则曲面的面积
若光滑曲面方程为,且,则
2、质心
(1)薄片的质心:,,
若薄片是均匀的,密度为常数,则质心即形心,
(2)空间立体质心:,
则:,,
3、转动惯量
(1)平面薄片的转动惯量,若面密度为
,
(2)空间立体的转动惯量, 若密度为,
,,
4、引力
(1)对面上的平面薄片对原点处的单位质量质点的引力分量为
;,
(2)空间立体的对空间任意一点处的单位质量质点的引力分量为
注:①匀质球对球外的一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点的引力;
②匀质球对球内的某一质点的引力等于球心到该质点为半径的球对该点的引力。
练****题:
1、求极限
2、交换下列积分次序
(1)