数列通项公式的求法(较全).doc

公式:
定义法
若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出与或与,再代入公式或中即可.
例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列的,求数列的的通项公式.
练****数列是等差数列,数列是等比数列,数列中对于任何都有分别求出此三个数列的通项公式.
累加法
形如型的的递推公式均可用累加法求通项公式.
当为常数时,为等差数列,则;
当为的函数时,用累加法.
方法如下:由得
当时,,
,
,
,
以上个等式累加得
(3)已知,,其中可以是关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.
①若可以是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若可以是关于的二次函数,累加后可分组求和;
③若可以是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④若可以是关于的分式函数,累加后可裂项求和求和.
例2、数列中已知, 求的通项公式.
练****1:已知数列满足
练****2:已知数列中,, 求的通项公式.
练****3:已知数列满足求求的通项公式.
累乘法
形如型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.
给递推公式中的依次取1,2,3,……,,可得到下面个式子:
利用公式可得:
例3、已知数列满足.
练****1:数列中已知, 求的通项公式.
练****2:设是首项为的正项数列,且,求的通项公式.
奇偶分析法
对于形如型的递推公式求通项公式
①当时,则数列为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.
②当为的函数时,由,两式相减,得到,分奇偶项来求通项.
例4、数列满足,求的通项公式.
练****数列满足,求的通项公式.
例5、数列满足,求的通项公式.
练****1: 数列满足,求的通项公式.
练****2:数列满足,求的通项公式.
对于形如型的递推公式求通项公式
①当时,则数列为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.
②当为的函数时,由,两式相除,得到,分奇偶项来求通项.
例6、已知数列满足,求的通项公式.
练****已知数列满足,求的通项公式.
例7、已知数列满足,求的通项公式.
练****1: 数列满足,求的通项公式.
练****2:数列满足,求的通项公式.
待定系数法(构造法)
若给出条件直接求较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,:
(1).
(2)
(3)
(4)
(5)
例8、已知数列中,,,求.
练****已数列中,且
例9、已知数列中,, 求的通项公式.
练****1:已知数列中,,则________.
练****2:已知数列中,, 求的通项公式.
例10、已知数列满足求
练****1:设数列{}满足,则________.
练****2:已知数列中,,求.
练****3:已知数列的满足:
(1)判断数列是否成等比数列;
(2)求数列的通项公式.
例11、数列中已知, 求的通项公式.
练****1:数列中已知, 求的通项公式.
练****2:数列中已知, 求的通项公式.
例12、已知数列中,,求求的通项公式.