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函数最值的几种求法
新课程标准中,高中数学知识更加丰富,层次性更强,,必须从整体上把握课程标准,运用主线知识将高中数学知识穿成串,连成片,织成网,才有利于学生更好的掌握,而函数的最值问题在整个高中教材中显得非常重要,为了能系统的学好这方面的知识,本文总结归纳出八种求函数最值的常见方法.
一由定义域直接求函数的最值
一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系,即若y是x的函数,则由x的取值范围,并且根据一次函数的单调性,就能得到y的最大(小)值.
例1 变量,,均不小于0,并满足及,求函数的最大值与最小值.
解由及得,
及.
又由,,均不小于0,推出.
再将与代入得,
,
它是单调递增函数,,当时,有最小值;当时,有最大值.
二用配方法求函数的最值[1]
对于二次函数可以用配方法讨论它的最值情况,,有最小值,即当时,;当时,有最大值,即当时,.
例2 .
解由得,.
又因,
所以当时,有最小值;
当时,有最大值.
例3 设在区间上最小值为,求的最大值.
解对关于配方得,
.
由已知得,当时,;当时,;当时,.因此,当时,的最大值为;当时,,且的最大值为;当时,的最大值为.
三用判别式法(也称△法)求最值
,对于一些常见的含有根号的无理函数,也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的△法来求最值,或如果一个问题中,诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式,便可运用判别式来求最,但要注意函数的定义域对函数的制约作用.
例4[2] 求函数的最值, 以及函数取最值时的取值.
解显然.
等式两边平方有,
移项再平方整理得,
又由,
得,
又因为并且
得,
所以.
于是当时,;当时,
四换元法
, 用代数换元(直接换元);当根式是二次式时,用三角换元.
例5 用换元法求函数的最大值(无最小值).
解令,.
所以.
于是当,即时,.
例6 用三角换元法求函数的最值.
解令,,原函数变为
.
又因为,故,所以,当,即,时, 取得最小值;当,,时,取得最大值.
五利用不等式求函数的最值
基本不等式:“一正, 二定, 三相等”[3].并合理的进行拆分和配凑,灵活变形使得问题简捷从而获解.
例7 求函数的最大值.
解,而(注意,)当且仅当,即时,,当时,原函数有最大值.
六利用导数求闭区间上连续函数的最值
(或最小值)的求法:(1)求出的所有极值点(驻点和导数不存在的点);(2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值[4].
例8 求函数在闭区间上的最值.
解对原函数关于求导数可得,
.
令,(舍去).再计算端点和导数为0点(驻点)处的函数值得, ,,,.所以,当时,原函数有最小值,当时,