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同济大学微积分第三版课件第三章第九节.ppt

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第九节定积分的物理应用举例
本节要点
定积分的一个重要应用就是在物理上的应用. 本节重
一、变力沿直线所作的功
二、水压力
三、引力
点讨论定积分在物理学上的应用. 主要内容有:
一、变力沿直线所作的功
从物理学中知道, 如果物体在作直线运动的过程中受
到常力的作用, 并且力作用的方向与位移的方向一致,
则当物体移动了距离时, 力对物体所作的功为
如果物体在运动过程中受到变力的作用, 如何求出相
应的功?
问题的分析: 设质点在变力的作用下, 由点位移到
因而当质点在整个位移过程中所作的总功为
点在位移过程中, 设质点从移到处时, 当
很小时, 视为常力, 则相应的功为
例1 把一个带电量为的点电荷放在轴的坐标原
移动到处时, 求电场力所作的功.
离原点为的地方, 那么电场对它的作用力为
( 是常数). 当这个单位正电荷从电场从处沿
点处, 它产生一个电场, 并对周围的电荷产生作用力.
由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中
解取为积分变量, 在区间中取一小区间
从而功元素为
于是所求的功为
当单位电荷从移动到时, 电场力对
它所作的功近似于
例2 有一弹簧, , 现将弹
解由物理学知道, 在弹性限度范围内, 使弹簧产生伸缩
当时, 有
从而因此微功为:
, 求力作的功.
的力, 它的大小与伸缩量成正比. 因此当弹簧伸缩了 m
时, 相应力的大小为
因此外力所做的功为

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