差分方程和数值微分.ppt

差分方程和数值微分.PPT差分方程和数值微分
差分方程~ 离散时段上描述变化过程的数学模型
一年期存款年利率为r,存入M, 记第k年本息为xk
n年后本息为
污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第k天的污水浓度为ck ,
离散动态过程(系统),实际的变化可以是连续的
天后污水浓度降低一半
一阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程
线性常系数差分方程组
数值微分简介
建立离散动态过程的数学模型;
用MATLAB计算数值解;
作理论分析(平衡点及其稳定性).
差分方程
例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变和人工孵化
一阶线性常系数差分方程
在较好自然环境下,%
在中等自然环境下,年平均增长率为-%
在较差自然环境下,年平均增长率为-%
如果在某自然保护区内开始有100只鹤,建立描述其数量变化规律的模型,并作数值计算.
生态学家估计
如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区,
在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?
模型及其求解
例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变和人工孵化
记第k年沙丘鹤的数量为xk,
自然环境下年平均增长率为r
设每年人工孵化的数量为b,
结果分析
例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变和人工孵化
时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势
a>1(r>0)时xk→∞, a<1(r<0)时xk→0
自然环境下
在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。
人工孵化条件下
a<1(r<0)时xk→x=b/(1-a)
x=5/=
一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性
差分方程的一般形式
差分方程的平衡点~代数方程 x=ax+b 的根 x=b/(1-a)
差分方程的解
c= x0-b/(1-a)由初始值x0 和a、b确定
若k→∞时xk→x, 平衡点x稳定, 否则平衡点x不稳定
平衡点稳定的充要条件是a <1
高阶线性常系数差分方程
例2 一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽,夏天开花,秋季产种。
没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天,其中的一部分能在第二年春季发芽,然后开花、产种,其中的另一部分虽未能发芽,但如又能活过一个冬天,则其中一部分可在第三年春季发芽,然后开花、产种,如此继续。
一年生植物只能活一年,且近似地认为,种子最多可以活过两个冬天。
建立数学模型研究植物数量的变化规律,
及它能够一直繁殖下去的条件.
模型及其求解
例2 一年生植物的繁殖
设一棵植物平均产种数为c, 种子能够活过冬天的比例为b, 活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为a1,未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为b, 在下一年春季发芽的比例为a2。
xk~第k年的植物数量
设今年种下(并成活)的数量为x0
记 p= -a1bc, q= -a2b(1-a1) bc
寻找形如xk=k的解
设c=10, a1=,a2=,b=, , ,x0=100
模型及其求解
例2 一年生植物的繁殖
特征方程
特征根
差分方程
常数c1, c2由x0, x1确定
差分方程的解
1, 2<1时xk0 (k)
1, 2>1时xk(k)
植物能够一直繁殖下去的条件为b>