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利用“不动点法”巧解高考题
由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型,对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题,充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键。与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况,因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中,不断总结,探究反思,对那些难求通项的数列综合问题形成了利用函数不动点知识探究的规律性总结,以期对同学们解题有所帮助。
不动点的定义
一般的,设的定义域为,若存在使成立,则称为的不动点,或称为图像的不动点。
求线性递推数列的通项
定理1:设函数且是函数的不动点,数列满足递推关系,证明:数列是公比为的等比数列。
证:∵是的不动点,∴,∴,
∴,
∴数列是公比为的等比数列。
例1(2010上海文数21题)已知数列的前项和为且。
⑴证明:数列是等比数列;
⑵求数列的通项公式并求出使得成立的最小正整数。
证:⑴当时,;当时,,
∴,∴,记,
令,求出不动点,由定理1知:,
又∵,∴数列是等比数列。
⑵略。
求非线性递推数列的通项
定理2:设函数且是函数的不动点,数列满足递推关系。
⑴若,则数列是公比为的等比数列;
⑵若,则数列是公差为的等差数列。
证:⑴由题设知;同理,。
∴,
∴数列是公比为的等比数列。
⑵由题设知的解为,∴且。
∴
∴数列是公差为的等差数列。
例2(2006年全国Ⅱ卷22题)设数列的前项和为且方程有一个根为。求数列的通项公式。
解:∵且,∴将代入上式得,
记,令,求出不动点,
由定理2-⑵知:,∴数列是公差为的等差数列,
∴,∴数列的通项公式为。
例3(2010年全国卷Ⅰ22题)已知数列中,,。
⑴设,,求数列的通项公式;
⑵求使不等式成立的的取值范围。
解:⑴∵,∴记,令,求出不动点;
由定理2-1知:,两式相除得,
∴是以为公比,为首项的等比数