下载此文档

2006年中科院研究生院数学分析试题及解答.doc


文档分类:研究生考试 | 页数:约8页 举报非法文档有奖
1/8
下载提示
  • 1.该资料是网友上传的,本站提供全文预览,预览什么样,下载就什么样。
  • 2.下载该文档所得收入归上传者、原创者。
  • 3.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
1/8 下载此文档
文档列表 文档介绍
2006年中国科学院研究生院
数学分析考研试题.
一. (20分)设在内可导,且,其中为
有限数或或。证明:存在,使得。
二. (20分)计算积分
1. ;2. ;3.
三. (20分)设函数在上二阶可导,且,
。证明,使得。
四. (20分)1. 证明:任一实数列必为两个单调递增数列之差。
2. 设,求
五. (15分)设函数在上连续,且,
使得。证明:在上至少有一个零点。
六. (20分)求幂级数的收敛域,并求其和函数。
七. (20分)计算二重积分,其中为区域。
八. (15分)设存在二阶连续偏导数,表示的梯度,
表示的Hesse矩阵,其中

1. 设是的稳定点,即:。如果在处为正定的,证明是的一个局部极小值点。
2. 设的Hesse矩阵在所有点处正定,
证明至多有一个稳定点。
2006年中国科学院研究生院
数学分析考研试题的解答
证明
证法一用反证法,假若结论不真,
由导函数的介值性,对所有,
必有或者.
若对一切,都有,
则在上严格单调递增,
对,有,
令,取极限,则得
,
这与条件矛盾,同理对所有,都有时,亦是矛盾的,
所以假设不成立,故原结论成立.
证法二(1)当为有限数时,若,则,结论自然成立,
若不很等于,则存在,使得,
下设,(对,类似可证)
因为,
函数在内连续,
所以对任意取定的数,
存在,,
使得,
从而由Rolle定理知,
存在,使得。
若或,则任取一点作,上面的推理保持有效.
(2)当时,,
易知在内可取到最小值,
设在处取到最小值,则有;
(3)当时,,
易知在内可取到最大值,
设在处取到最大值,则有;
注:此题是推广的罗尔中值定理。
二、1、解
解法1
.
解法2 令,
, 于是.
解法3 ,,
,
,
于是.
2、解由,知

,
,
,
3、

三、证明因为在上连续,有最小值,又因为,
,故最小值在的内部达到,
所以存在,使得.
于是为极小值,由Fermat定理,有,
在处,按Taylor公式展开,存在,使得
,
,
因此
,
于是存在,使得.
四、1、证明设为任一实数列,
令,,
所以,

2006年中科院研究生院数学分析试题及解答 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.

非法内容举报中心
文档信息
  • 页数8
  • 收藏数0 收藏
  • 顶次数0
  • 上传人marry201208
  • 文件大小798 KB
  • 时间2018-10-20