清华大学微积分题库.doc

(3343).微分方程的通解为。
(4455).过点且满足关系式的曲线方程为
。
(4507).微分方程的通解为。
(4508).设是线性微分方程的三个特解,且,则该微分方程的通解为
。
(3081).设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相应齐次方程的一个解为,则该微分方程的通解为。
(4725).设出微分方程的一个特解形式
。
(4476).微分方程的通解为。
(4474).微分方程的通解为。
(4477).函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为。
(4532).若连续函数满足关系式,则。
(6808).设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续导数,且,则等于[ ]
(A)。(B) 。
(C) 。(D) 。
答B
注:根据题意,,解得。由,得,所以,即选项(B)正确。
,则该方程满足初始条件的特解为[ ]
(A) 。(B) 。
(C) 。(D) 。
答D
注:根据解的结构,通解为,由得。故选项(D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
,则该方程的通解为[ ]
(A)。(B) 。
(C) 。(D) 。
答D
注:因为是微分方程的两个不同特解,所以是该方程的一个非零特解。根据解的结构,其通解为,即选项(D)正确。另:根据通解定义,选项(A)中有两个任意常数,故其不对。当时,选项(B)不对。当时,选项(C)不对。
,则等于[ ]
(A)。(B)。(C)。(D) 。
答D
注:根据微分定义及微分与导数的关系得,解得,由,得,所以。因此选项(D)正确。
。若,则函数在点[ ]
(A) 取到极大值。(B) 取到极小值。
(C) 某个邻域内单调增加。(D) 某个邻域内单调减少。
答A
注:因为,,所以选项(A)正确。
6316. 设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解,是两个任意常数,则下列命题中正确的是[ ]
(A) 一定是微分方程的通解。
(B)不可能是微分方程的通解。
(C)是微分方程的解。
(D)不是微分方程的解。
答C
注:根据叠加原理,选项(C)正确,选项(D)错误。当线性相关时,选项(A)错误, 当线性无关时,选项(B)错误。
1897. 微分方程的一个特解应具有形式[ ]
(A)。(B)。
(C) 。(D) 。
答B
注:相应齐次方程的特征根为,所以的一个特解形式为,
的一个特解形式为。根据叠加原理,原方程的一个特解形式为,即选项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。
1890. 具有特解的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ]
(A)。(B) 。
(C) 。(D) 。
答B
注:根据题意,是特征方程的两个根,且是重根,所以特征方程为。故所求微分方程为,即选项(B)正确。
7819. 设是三阶线性常系数齐次微分方程的两个特解,则的值为[ ]
(A)。(B)。
(C)。(D)。
答C
注:根据题意,是特征方程的两个根,且是重根,所以特征方程为。故原微分方程应为,所以即选项(C)正确。
2670. 设二阶线性常系数齐次微分方程的每一个解都在区间上有界,则实数的取值范围是[ ]
(A)。(B)。(C)。(D)。
答A
注:因为当时,,所以,当时,要想使在区间上有界,只需要,即
。当时,要想使在区间上有界,只需要与的实部大于等于零,即。当时,在区间上有界。当时,在区间上无界。综上所述,当且仅当时,方程的每一个解都在区间上有界,即选项(A)正确。
。
解:方程两端同乘以,得
,
此方程是一个变量分离方程,其通解为
。
。
解:这是一个一阶线性微分方程,求解其相应的齐次方程
,
得其通解为
,即。
令,代入原方程,得
,
解得
。
所以原方程的通解为
。
注:本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式,得
。
。
解:将看成自变量,看成是的函数,则原方程是关于未知函数的一阶线性微分方程
,
此方程通解为
,
其中是任意常数。`
。
解:将原方程变形,得
,
这是一个齐次型方程。令,代入上式,得
,
分离变量,得
,
积分,得
,
即
。
因为,所以。于是所求特解为
。
,求此微分方程满足条件的特解。
解:将代入原方程,得
,
解出
。
所以原方程为
,
解其对应的齐次方程,得