哈密顿系统的数学建模和动力学分析.doc

1 引言
Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史,它本身是Lagrange力学的升华与推广,从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学,如辛几何、,随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用,、生命科学以及社会科学的各个领域,特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现,.
2 预备知识
状态空间的基本概念
1)状态
任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态,系统在时刻的状态是时刻的一种信息量,它与此后的输入一起惟一地确定系统在时的行为.
2)状态变量
状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组.
3)状态向量
设系统有个状态变量,用表示,而且把这些状态变量看做向量的分量,则向量称为状态向量,记为
.
状态空间
以状态变量为轴的维实向量空间称为状态空间.
状态方程
描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程,它表征了输入对内部状态的变换过程,其一般形式为:
其中,是时间变量,是输入变量.
输出方程
描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程,它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换,:
.
7)状态空间表达式
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式,也称动态方程,它表征一个系统完整的动态过程,其一般形式为:
通常,对于线性定常系统,状态方程为
其中,表示维状态向量,表示系统内部状态的系数矩阵,称为系统矩阵,表示输入对状态作用的矩阵,称为输入(或控制)矩阵,表示输出对状态关系的矩阵,称为输出矩阵, 表示输入直接对输出作用的矩阵,称为直接转移矩阵,也称前馈系数矩阵.
由系统内部结构及其参数决定,体现了系统内部的特性,而则主要体现了系统输入的施加情况,通常情况下.

设,若存在一分段连续控制向量,能在内,将系统从任意的初态转移至任意终态,则系统完全能控.
系统完全能控的充要条件:
其中,,称为能控矩阵.

线性状态反馈控制律为式中,是参考输入,称为状态反馈增益矩阵
.系统动态方程变为:
式中,,,当时,状态反馈系统闭环传递函数为
式中,为闭环系统的系统矩阵.
以上我们简要介绍了控制系统的有关问题,现在针对单输入定常线性系统,设计其某种形式的线性定常控制律,使得闭环系统具有指定的希望的一组极点,即极点配置.
极点配置
考虑下述单输入线性定常系统
()
其中为常阵,,使得()在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.
问题SPA[状态反馈极点配置问题] 给定矩阵, 及一组共轭封闭复数, i=1,2,…,n(不必互异),求取矩阵使得
对问题SPA先考虑其解的存在性有:
如果对于任何给定的一组共轭封闭复数,,前述问题SPA均有解,则称线性定常系统()可用状态反馈任意配置极点.
下述定理给出了线性定常系统()利用状态反馈任意配置极点的条件.
定常线性系统()可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统()完全能控
问题对单输入系统,给定能控矩阵对和一组期望的闭环特征值, 要确定的反馈增益矩阵,使成立,.
对于上述问题,我们有下述算法:
[单输入系统的极点配置设计]
第一步:计算A的特征多项式,即
第二步:计算由所决定的多项式,即
第三步:计算
第四步:计算变换阵
第五步:求
第六步:所求的增益阵.
分析力学中相关的知识
1) 广义坐标
能够完全确定质点系位形的独立参变量,用符号表示.
,只需根据质点系的特点,选择那些能够惟一地确定该系统位形的参变量即可.
2)广义速率
在质点系中引入广义坐标之后,质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描述,即
广义速率:
3)广义坐标变分
假设在给定的运动初始条件下,某质点系的运动微分方程组的解已经求得,它的广义坐标运动方程为,广义速率于是广义坐标的全微分为

同样,广