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奥数之工程问题
在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间.
在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”。
工程问题方法总结:
一:基本数量关系:
工效×时间=工作总量
二:基本特点:
设工作总量为“1”,工效=1/时间
三:基本方法:
算术方法、整体思想、组合法、比例方法、方程方法、假设法
四:基本思想:
分做合想、合做分想。
五:类型与方法:
一:分做合想:,,(比例),。
二:按劳分配思路:每人每天工效→每人工作量→按比例分配
三:休息请假:
方法::划分工作量。:假设不休息。
四:周期工程
休息与周期:
已知条件的顺序:①先工效,再周期,②先周期,再天数。
.天数:①近似天数,②准确天数。
列表确定工作天数。
交替与周期:估算周期,注意顺序!
注水与周期:,,。
五:工效变化。
六:比例:,,,(周期)。
七:牛吃草问题:,,。
一、用“组合法”解工程问题
专题简析:
在解答工程问题时,如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看,则难以找到明确的解题途径,若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合,使之成为一个新的基本单位,便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化,从而顺利找到解题途径。
例题1。
一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3天,只能完成工程的,乙队单独完成全部工程需要几天?
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是,只要求出甲队货乙队的工作效率,则问题可解,然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲队独做5天,乙队独做3天,组合成甲、乙两队合作了3天后,甲队独做2天来考虑,就可以求出甲队2天的工作量-×3=,从而求出甲队的工作效率。所以
1÷【-(-×3)÷(5-3)】=20(天)
答:乙队单独完成全部工程需要20天。
边讲边练:
师、徒二人合做一批零件,12天可以完成。师傅先做了3天,因事外出,由徒弟接着做1天,共完成任务的。如果这批零件由师傅单独做,多少天可以完成?
某项工程,甲、乙合做1天完成全部工程的。如果这项工程由甲队独做2天,再由乙队独做3天,能完成全部工程的。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
甲、乙两队合做,20天可完成一项工程。先由甲队独做8天,再由乙队独做12天,还剩这项工程的。甲、乙两队独做各需几天完成?
例题2:
一项工程,甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天,再由乙队做2天,则能完成这项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天?
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是:(-×3)÷2=;再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意,可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成,即可求出相等的时间。
乙队每天完成这项工程的
(-×3)÷2=
两段时间一共是
1÷(×2+)×2=6(天)
答:两段时间一共是6天。
边讲边练:
一项工程,甲队独做15天完成。若甲队先做5天,乙队再做4天能完成这项工程的。现由甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现,两段时间相等。这两段时间一共是几天?
一项工程,甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天,再由乙独做,完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成?
某工作,甲单独做要12天,乙单独做要18天,丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天,再由乙接着做;乙做的天数是甲3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天?
例题3:移栽西红柿苗若干棵,如果哥、弟二人合栽8小时完成,先由哥哥栽了3小时后,又由弟弟栽了1小时,还剩总棵数的
没有栽,已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵?
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时,弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后,哥哥又独做了2小时”,就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几
(1--×1)÷(3-1)=
一共要移栽的西红柿苗多少棵
7÷【-(-)】=112(棵)
答:共要移栽西红柿苗112棵。
边讲边练:
加工一批机器零件,师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时,接着再由徒弟加工6小时,共加工了这批零件的。