兰州大学2005年题解答.doc

兰州大学2005年硕士研究生入学考试题
数学分析试题解答
一.(10分)判断:
:对任意正整数,,则收敛.
解:.
,则在上一定有原函数.
解:.
,则在上一定可积.
解:
,则在点的所有方向导数存在.
解:正确.
,是上单调有界函数,则收敛.
解:正确.
二.(50分)计算:
1.;
解:因为
,
即.
又因,
所以.
2.;
解:由于,所以是的瑕点,因此是瑕积分.
;
解:由于,所以收敛半径为.
级数的收敛域为.
设,.则
令,.则
,
从而,即,.
因此,
所以,.
,其中为椭圆,沿逆时针方向;
解:设表示椭圆(取充分小,使得所围成的区域完全含于所围成的区域之内),,则
, .
且,都在上连续,因此根据Green公式得:

因此
,其中是平面上的曲线绕轴的旋转曲面在部分的外侧.
第二型曲面积分计算公式:
ⅰ>若曲面的方程为:,则
,
上侧取“”, 下侧取“”.
ⅱ>若曲面的方程为:,则
,
右侧取“”, 左侧取“”.
ⅲ>若曲面的方程为:,则
.
前侧取“”, 后侧取“”.
解:曲面的方程为,
.
或根据对称性把问题转化为计算:,其中是平面上的曲线绕轴的旋转曲面在部分的外侧. 曲面的方程为,
.
或记表示: .:
,
而,
所以.
三.(15分)叙述函数列不一致收敛到函数的分析定义,并用定义证明在上不一致收敛.
定义:,,及,使得
成立,则称函数列在数集上不一致收敛到函数.
证明:因为,,及,使得
成立,所以函数列在上不一致收敛到函数.
四.(15分)设在上一致连续,在上连续,.证明:在上一致连续.
证明:,ⅰ>因为,所以对,,使得当时,有
ⅱ>因为在上连续,所以在上一致连续,从而对,,使得,当时,有.
ⅲ>因为在上一致连续, 所以对,,使得,当时,有.
ⅳ>取,则,当时,
①当时,有,
②当时,有,从而
.
因此在上一致连续.
五.(15分)设平面截三坐标轴于A,B,C三点,O为坐标原点,为三角形ABC上一点,以OP为对角线,三坐标平面为三面作一长方体,求最大体积.
解:设为三角形ABC上一点,则以OP为对角线,三坐标平面为三面作一长方体的边长为,.
由得
,.
因此当时,所得长方体的体积最大, 最大体积为.
或问题转化为求函数在限制条件下的的最大值.
令,则由得
根据问题的实际意义知: