线性代数.doc

线性代数19354第一部分:基本要求(计算方面)
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);
求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;
含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);
讨论一个向量能否用和向量组线性表示;
讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;
将无关组正交化、单位化;
求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;
通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;
写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识
一、行列式

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;
(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;

一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;
(2)行列式值为0的几种情况:
Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;
Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;
Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;
Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);

(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;
(2)关于乘法的几个结论:
①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵);
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;
③若A、B为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;
④|kA|=k^n|A|

(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;
(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

(1)定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);
(2)性质: (AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)';(A B的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)
(3)可逆的条件:
①|A|≠0; ②r(A)=n; ③A->I;
(4)逆的求解
伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵~)
②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)
:
AX=B,则X=(A^-1)B;
XB=A,则X=B(A^-1);
AXB=C,则X=(A^-1)C(B^-1)
、线性方程组

定理:
(1) r(A,b)≠r(A) 无解;
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;
(3)r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解;
特别地:对齐次线性方程组AX=0
(1) r(A)=n 只有零解;
(2) r(A)<n 有非零解;
再特别,若为方阵,
(1)|A|≠0 只有零解
(2)|A|=0 有非零解

(1)解的情况:
r(A)=n,(或系数行列式D≠0)只有零解;
r(A)<n,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。
(2)解的结构:
X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)求解的方法和步骤:
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵;
②写出对应同解方程组;
③移项,利用自由未知数表示所有未知数;
④表示出基础解系;
⑤写出通解。

(1)解的情况:
利用判定定理。
(2)解的结构:
X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
(3)无穷多组解的求解方法和步骤:
与齐次线性方程组相同。
(4)唯一解的解法:
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。
四、向量组

注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。
:
(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);
(2)向