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希尔伯特的 23 个世纪问题
本帖来自 : 数学中国 作者 : clanswer 日期 : 2010-1-10 13:34 您是本帖第 968
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在 1900 年 巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他
根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了 23 个最重要的数学问题。这
23 个问题通称 希尔伯特问题 ,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和
发展产生了深刻的影响, 并起了积极的推动作用, 希尔伯特问题中有些现已得到 ** 解决, 有
些至今仍未解决。 他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念, 对于数学工作
者是一种巨大的鼓舞。 1 e* h, ` s, @( H& A0 C( M
希尔伯特的 23 个问题分属四大块: 第 1 到第 6 问题是数学基础问题; 第 7 到第 12 问题
是数论问题;第 13 到第 18 问题属于代数和几何问题;第 19 到第 23 问题属于数学分析。
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( 1)康托的连续统基数问题。 , r% I6 u+ Z" `& q1 @
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1874 年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假
设。 1938 年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与 ZF 集合 ** 理系统的
无矛盾性。 1963 年,美国数学家科思(  )证明连续统假设与 ZF 公理彼此独立。因
而,连续统假设不能用 ZF 公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。
孙嘉林是一位数学家, 一直致力于基础数学的研究。 孙嘉林首创了世界全新命题逻辑零
分析数学体系, 1992 年《零分析》的中、英文版由青岛出版社出版。“零分析”数学体系
一举攻克了举世公认的希尔伯特第一、 第二问题, 即连续统假设问题和算术公理的相容性问
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( 2)算术公理系统的无矛盾性。
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欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。 希尔伯特曾提出用形式主义计划
的证明论方法加以证明,哥德尔 1931 年发表不完备性定理作出否定。根茨(  ,
1909-1945 )1936 年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
( 3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。 " M, Q. \&
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2 d- F+ N7 r9 F: x' M" p( O
问题的意思是: 存在两个等高等底的四面体, 它们不可能分解为有限个小四面体, 使这
两组四面体彼此全等德思( ) 1900 年已解决。
( 4)两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些 ** 条件。 1973 年,苏联
数学家波格列洛夫( Pogleov )宣布,在对称距离情况下,问题获解决。
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( 5)拓扑学成为李群的