函数-导数不等式-推理证明.doc

函数-导数不等式-推理证明.doc函数,导数,不等式,推理与证明
1,已知函数. (Ⅰ) 若直线与的反函数的图像相切, 求实数的值; (Ⅱ) 设, 讨论曲线与曲线公共点的个数. (Ⅲ) 设, 比较与的大小, 并说明理由.
2,已知函数(Ⅰ)设,求的单调区间
(Ⅱ) 设,且对于任意,。试比较与的大小
3,已知函数,,
当时, 求证:;
4已知函数. (Ⅰ) 求函数的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的, 存在唯一的s, 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有
5,已知函数(Ι)设是的极值点,求,并讨论的单调性; (Ⅱ)当时,证明.
6,函数(1)n=0,若h(x)在上没有零点,求m取值范围(2)设求证:当。
7,已知函数,若f(x)有两个不同零点, (1)求m取值范围
(2)证明
8函数(1)求f(x)在上的最大值(2)若f(x)有两个不同零点,
求证:。
9,函数(1)若f(x)在R上是增函数。求a取值范围(2)如果恰好有两个不同的极值点,证明:
10,函数(1)讨论函数单调性,(2)若在处的切线斜率为2,且函数在有两个不同的极值点证明
【解析】(Ⅰ) 的反函数. 设直线与相切与点。所以
(Ⅱ) 当时, 曲线与曲线的公共点个数即方程根的个数。
由,令
则在上单调递减,这时,在上单调递增,这时是极小值即最小值.
所以对曲线与曲线公共点的个数,讨论如下:
当时,有个公共点;当,有个公共点;
当有个公共点;
(Ⅲ) 设
令,则
的导函数所以在上单调递增,且,因此在上单调递增,而
所以在。因为当时,且
所以当时,
解:(Ⅰ)由知又,故当时,若时,由得,恒成立,故函数的单调递减区间是;若,令可得,即函数在上是减函数,,单调递增区间是当时,令
由于,故有
显然有,故在区间上,导数小于0,函数是减函数;在区间上,导数大于0,函数是增函数
综上,当时,函数的单调递减区间是;
当时,函数的单调递减区间是,单调递增区间是
当,函数的单调递减区间是,单调递增区间是(II)由题意,函数在处取到最小值,
由(1)知,是函数的唯一极小值点故
整理得令,则
由当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减因为
故,即,即